Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido compreendido entre os parabolóides e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que está entre os parabolóides e usando uma integral tripla. Vamos precisar de conhecimentos sobre integrais múltiplas e coordenadas polares para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde os dois parabolóides se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Simplificando:
Isso nos mostra que a interseção ocorre quando , que é um círculo de raio 1 no plano .

Passo 3

Como a região de integração é circular, é mais fácil usar coordenadas polares. Vamos fazer a mudança de coordenadas onde:
E o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 4

Agora, expressamos as funções em termos de :
O volume será então a integral tripla:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna com respeito a :
Agora, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral com respeito a :
Agora, a integral fica:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Resolva as integrais triplas:
Resolva as integrais duplas:
Seja a parte do sólido delimitado pelo cone circular e pela semiesfera que está no primeiro octante. Encontre o valor da constante de tal forma que a equação abaixo seja verdadeira:
Resolva as integrais duplas: , onde