Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido compreendido entre os parabolóides
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que está entre os parabolóides
e
usando uma integral tripla. Vamos precisar de conhecimentos sobre integrais múltiplas e coordenadas polares para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde os dois parabolóides se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Simplificando:
Isso nos mostra que a interseção ocorre quando
, que é um círculo de raio 1 no plano
.
Passo 3
Como a região de integração é circular, é mais fácil usar coordenadas polares. Vamos fazer a mudança de coordenadas onde:
E o elemento de área em coordenadas polares é
.
Passo 4
Agora, expressamos as funções
em termos de
:
O volume
será então a integral tripla:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna com respeito a
:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral com respeito a
:
Agora, a integral fica:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Resolva as integrais triplas:
Resolva as integrais duplas:
Seja
a parte do sólido delimitado pelo cone circular
e pela semiesfera
que está no primeiro octante. Encontre o valor da constante
de tal forma que a equação abaixo seja verdadeira:
Resolva as integrais duplas:
, onde