Resolva as integrais de funções irracionais:
(a) integral (x+3) d xx(x-2 raizx+3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é o de integrais envolvendo funções racionais e irracionais. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição e simplificação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que temos na expressão. Isso me dá a ideia de fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar . Assim, e .

Passo 3

Agora, vamos substituir integral (t^2 + 3) cdot 2t , dtt^2 (t^2 - 2t + 3) e integral 2t (t^2 + 3)t^2 (t^2 - 2t + 3) , dt = 2 integral t^2 + 3t (t^2 - 2t + 3) , dt na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 4

Vamos dividir a fração em partes mais simples. Podemos separar t^2 + 3t (t^2 - 2t + 3) = tt^2 - 2t + 3 + 3t (t^2 - 2t + 3) em 2 integral ( tt^2 - 2t + 3 + 3t (t^2 - 2t + 3) ) dt :
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver cada parte separadamente. Primeiro, para 12 integral 2t - 2 + 2u , dt = 12 ln|u| + C = 12 ln(t^2 - 2t + 3) + C , fazemos uma substituição. Seja , então . Precisamos ajustar para termos , então conseguimos:

Passo 6

Agora, para a segunda parte 3t (t^2 - 2t + 3) = At + Bt + Ct^2 - 2t + 3 , podemos usar frações parciais. Suponhamos que:
A = 3, B = 2, C = 6
Multiplicando ambos os lados por 3 ln|t| + integral 2t + 6t^2 - 2t + 3 , dt e resolvendo para 3 ln|t| + ln(t^2 - 2t + 3) + 3 arctan(t - 1raiz2) + C , , e , encontramos:
Então, a integral se torna:
Que depois de resolver dá:

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:
2 ( 12 ln(t^2 - 2t + 3) + 3 ln|t| + ln(t^2 - 2t + 3) + 3 arctan(t - 1raiz2) ) + C
Simplificando e voltando a ln(x - 2raizx + 3) + 6 ln|raizx| + 2 ln(x - 2raizx + 3) + 6 arctan(raizx - 1raiz2) + C , temos:
ln(x - 2raizx + 3) + 6 ln(raizx) + 6 arctan(raizx - 1raiz2) + C
Ou, de forma final:

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