Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma integral de uma função irracional, ou seja, envolve raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar substituições que simplifiquem a expressão dentro da raiz e lidar com a fração .
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que pode ser manipulada para facilitar a substituição. Vamos definir uma nova variável para substituir essa expressão. Seja . Isso vai nos ajudar a transformar a integral em termos de .
Passo 3
Agora, precisamos expressar tudo em termos de . Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resolvendo para :
Agora, vamos encontrar em termos de :
Passo 4
Substituindo e na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos simplificar a integral:
Podemos expandir o denominador:
Mas é mais fácil usar uma substituição direta. Seja , então . Precisamos ajustar a integral para essa substituição:
Como , isso complicaria mais. Em vez disso, podemos fazer a divisão:
Então, a integral se torna:
Essas integrais são padrões que podemos resolver usando fórmulas conhecidas.
Passo 6
Resolvendo as integrais:
integral 1(1 - t^2)^2 dt = t2(1 - t^2) + 14 ln | 1 + t1 - t | + C
Substituindo de volta na expressão:
-4 ( 12 ln | 1 + t1 - t | - ( t2(1 - t^2) + 14 ln | 1 + t1 - t | ) ) + C
Simplificando:
-4 ( 12 ln | 1 + t1 - t | - t2(1 - t^2) - 14 ln | 1 + t1 - t | ) + C = -4 ( 14 ln | 1 + t1 - t | - t2(1 - t^2) ) + C = - ln | 1 + t1 - t | + 2 cdot t1 - t^2 + C
Passo 7
Agora, voltamos para t = raiz1 - x1 + x em termos de t1 - t^2 = raiz1 - x1 + x1 - 1 - x1 + x = raiz1 - x1 + x2x1 + x = raiz(1 - x)(1 + x)2x = raiz1 - x^22x :