Resolva as integrais de funções irracionais:
(f) integral raiz1-x1+x d xx^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma integral de uma função irracional, ou seja, envolve raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar substituições que simplifiquem a expressão dentro da raiz e lidar com a fração .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que pode ser manipulada para facilitar a substituição. Vamos definir uma nova variável para substituir essa expressão. Seja . Isso vai nos ajudar a transformar a integral em termos de .

Passo 3

Agora, precisamos expressar tudo em termos de t^2 = 1 - x1 + x . Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
t^2(1 + x) = 1 - x t^2 + t^2x = 1 - x t^2x + x = 1 - t^2 x(t^2 + 1) = 1 - t^2 x = 1 - t^21 + t^2
Resolvendo para dx = ddt(1 - t^21 + t^2) dt = (-2t)(1 + t^2) - (1 - t^2)(2t)(1 + t^2)^2 dt = -4t(1 + t^2)^2 dt :
Agora, vamos encontrar em termos de :

Passo 4

Substituindo integral raiz1 - x1 + x dxx^2 = integral t cdot -4t(1 + t^2)^2 cdot (1 + t^21 - t^2)^2 dt e = -4 integral t^2(1 + t^2)^2(1 + t^2)^2(1 - t^2)^2 dt = -4 integral t^2(1 - t^2)^2 dt na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
-4 integral t^2(1 - t^2)^2 dt
Podemos expandir o denominador:
= -4 integral t^21 - 2t^2 + t^4 dt
Mas é mais fácil usar uma substituição direta. Seja -4 integral t^2(1 - t^2)^2 dt = -4 integral t^2u^2 cdot du-2t = 2 integral tu^2 du , então t^2(1 - t^2)^2 = 1 - (1 - t^2)(1 - t^2)^2 = 11 - t^2 - 1(1 - t^2)^2 . Precisamos ajustar a integral para essa substituição:
-4 ( integral 11 - t^2 dt - integral 1(1 - t^2)^2 dt )
Como , isso complicaria mais. Em vez disso, podemos fazer a divisão:
Então, a integral se torna:
Essas integrais são padrões que podemos resolver usando fórmulas conhecidas.

Passo 6

Resolvendo as integrais:
integral 11 - t^2 dt = 12 ln | 1 + t1 - t | + C
integral 1(1 - t^2)^2 dt = t2(1 - t^2) + 14 ln | 1 + t1 - t | + C
Substituindo de volta na expressão:
-4 ( 12 ln | 1 + t1 - t | - ( t2(1 - t^2) + 14 ln | 1 + t1 - t | ) ) + C
Simplificando:
-4 ( 12 ln | 1 + t1 - t | - t2(1 - t^2) - 14 ln | 1 + t1 - t | ) + C = -4 ( 14 ln | 1 + t1 - t | - t2(1 - t^2) ) + C = - ln | 1 + t1 - t | + 2 cdot t1 - t^2 + C

Passo 7

Agora, voltamos para t = raiz1 - x1 + x em termos de t1 - t^2 = raiz1 - x1 + x1 - 1 - x1 + x = raiz1 - x1 + x2x1 + x = raiz(1 - x)(1 + x)2x = raiz1 - x^22x :
- ln | 1 + raiz1 - x1 + x1 - raiz1 - x1 + x | + raiz1 - x^2x + C
E:
Substituindo tudo de volta, temos:

Resposta

A integral - ln | 1 + raiz1 - x1 + x1 - raiz1 - x1 + x | + raiz1 - x^2x + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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7
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