Use integração por partes para resolver as integrais abaixo:
(i) integral e^raiz2 x+1 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções que podem ser integradas separadamente. Para isso, precisamos identificar partes da integral que correspondem a e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Seja u = raiz2x + 1 u^2 = 2x + 1 2x = u^2 - 1 x = u^2 - 12 . Então, precisamos encontrar dudx = 12raiz2x + 1 cdot 2 dudx = 1raiz2x + 1 dx = raiz2x + 1 , du = u , du :
Agora, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 3

Substituindo integral e^raiz2x + 1 , dx = integral e^u cdot u , du = integral u e^u , du e na integral original:
Agora, temos uma nova integral mais simples: .

Passo 4

Aplicando integração por partes na integral integral u , dv = u v - integral v , du :
A fórmula de integração por partes é:
u = u Rightarrow du = du dv = e^u , du Rightarrow v = e^u
Vamos escolher:

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula:
integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo u e^u - e^u + C = e^raiz2x + 1 cdot raiz2x + 1 - e^raiz2x + 1 + C de volta na expressão:
e^raiz2x + 1 ( raiz2x + 1 - 1 ) + C
Podemos fatorar :

Resposta

A solução da integral é:
integral e^raiz2x + 1 , dx = e^raiz2x + 1 ( raiz2x + 1 - 1 ) + C

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