Usando substituição de variável, resolva as integrais abaixo :
(t) integral 3^x^2+4 x+3(x+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para a gente resolver a integral usando substituição de variável. Vamos precisar usar conhecimentos de funções exponenciais e a técnica de substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observamos que o expoente de 3 é u = x^2 + 4x + 3 . Vamos chamar esse expoente de :

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 2x + 4 em relação a dx = du2x + 4 para encontrar :
Então, isolando :

Passo 4

Dá para observar que o termo x + 2 = 2x + 42 na integral está relacionado com (x + 2)dx = 2x + 42 cdot du2x + 4 = du2 . De fato:
Isso significa que:

Passo 5

Substituímos tudo na integral original usando integral 3^x^2+4x+3(x+2) , dx = integral 3^u cdot du2 = 12 integral 3^u , du e :

Passo 6

Agora, vamos integrar integral 3^u , du = 3^uln 3 + C em relação a 12 integral 3^u , du = 12 cdot 3^uln 3 + C = 3^u2 ln 3 + C . Sabemos que a integral de é :
Portanto:

Resposta

Substituindo integral 3^x^2+4x+3(x+2) , dx = 3^x^2+4x+32 ln 3 + C de volta para :

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