Verifique se a função é contínua em utilizando a definição de continuidade.
O campo elétrico produzido por uma distribuição esférica e homogênea de cargas elétricas, de raio , é representado pela seguinte função,
sendo uma constante e a distância do centro da esfera até um ponto qualquer onde o campo está definido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função que representa o campo elétrico é contínua em . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites e Continuidade de Funções. Para resolver, vamos usar a definição de continuidade, que envolve verificar os limites laterais e o valor da função no ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a função . Ela está definida de forma diferente dependendo se é menor que ou maior que :
Queremos verificar se essa função é contínua em , ou seja, se não tem “saltos” ou “interrupções” nesse ponto.

Passo 3

Vamos começar calculando o limite de quando se aproxima de pela esquerda ( ). Para , temos:

Passo 4

Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de pela direita ( ). Para , temos:

Passo 5

De acordo com a definição de continuidade, a função é contínua em se:
  1. O limite de quando se aproxima de existe.
  2. O limite pela esquerda é igual ao limite pela direita.
  3. A função está definida em e os limites são iguais ao valor da função nesse ponto.
Neste caso, os dois limites são iguais a . Se definirmos , então todos os três critérios são atendidos.

Resposta

A função é contínua em , pois os limites laterais são iguais e coincidem com o valor da função nesse ponto.

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