Resolva as integrais das funções trigométricas: integral sin (x) cos (5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a integral da função trigonométrica integral sin(x) cos(5x) , dx. Vamos usar princípios de cálculo, especificamente técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica o produto de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil para multiplicar seno e cosseno. A identidade é:
sin(a) cos(b) = 12 [sin(a + b) + sin(a - b)]
Essa fórmula nos ajuda a transformar o produto de duas funções trigonométricas em uma soma, o que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando essa identidade ao nosso problema, onde a = x e b = 5x, temos:
sin(x) cos(5x) = 12 [sin(x + 5x) + sin(x - 5x)] = 12 [sin(6x) + sin(-4x)]
Lembrando que sin(-theta) = -sin(theta), então:
sin(x) cos(5x) = 12 [sin(6x) - sin(4x)]

Passo 4

Agora, vamos substituir isso na integral original:
integral sin(x) cos(5x) , dx = 12 integral [sin(6x) - sin(4x)] , dx
Isso simplifica a nossa integral para trabalhar com funções seno mais simples.

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de sin(kx) é -1k cos(kx), onde k é uma constante.
Então:
12 integral sin(6x) , dx = 12 ( -16 cos(6x) ) = -112 cos(6x)
E
12 integral sin(4x) , dx = 12 ( -14 cos(4x) ) = -18 cos(4x)

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
integral sin(x) cos(5x) , dx = -112 cos(6x) + 18 cos(4x) + C
onde C é a constante de integração.

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