Resolva as integrais usando métodos adequados: integral(3 x^2+6 x+5) arctan (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Nesse exercício, vamos usar o método de integração por partes, que é super útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui. Para aplicar esse método, precisamos identificar quais funções serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, vamos escolher porque é uma função que sabemos como derivar facilmente. Assim, o será o restante da integral, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos calcular du = 11 + x^2 , dx e v = integral (3x^2 + 6x + 5) , dx = x^3 + 3x^2 + 5x + C :
  1. Derivando :
  2. Integrando :
    (Como estamos fazendo uma integral indefinida, adicionamos a constante de integração , mas ela será descartada na hora de aplicar a fórmula.)

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo pelos valores que encontramos:
integral (3x^2 + 6x + 5) arctan(x) , dx = arctan(x) cdot (x^3 + 3x^2 + 5x) - integral (x^3 + 3x^2 + 5x) cdot 11 + x^2 , dx

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral que ficou:
integral x^3 + 3x^2 + 5x1 + x^2 , dx
Para simplificar, vamos dividir o numerador pelo denominador:
  1. Dividindo (x^3 + 3x^2 + 5x) - (x^3 + x) = 3x^2 + 4x por integral 3x^2 + 4x1 + x^2 , dx , temos .
  2. Multiplicando por , obtemos .
  3. Subtraindo isso do numerador original:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos separar essa fração:
3x^21 + x^2 + 4x1 + x^2
Simplificando a primeira fração:
3x^21 + x^2 = 3 - 31 + x^2
Então, a integral se torna:
integral (3 - 31 + x^2 + 4x1 + x^2) , dx

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
  1. integral 4x1 + x^2 , dx = 2 integral 2x1 + x^2 , dx = 2 ln|1 + x^2| + C
Para o terceiro termo, fazemos uma substituição simples:
Se , então . Ajustando os termos:

Passo 8

Juntando todas as integrais calculadas:
3x - 3 arctan(x) + 2 ln(1 + x^2) + C

Passo 9

Agora, voltando à nossa expressão original da integração por partes:
arctan(x) cdot (x^3 + 3x^2 + 5x) - (3x - 3 arctan(x) + 2 ln(1 + x^2)) + C
Simplificando:
arctan(x) cdot (x^3 + 3x^2 + 5x) - 3x + 3 arctan(x) - 2 ln(1 + x^2) + C

Resposta

A integral arctan(x) cdot (x^3 + 3x^2 + 5x) - 3x + 3 arctan(x) - 2 ln(1 + x^2) + C é igual a:

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