Resolva as integrais usando métodos adequados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Nesse exercício, vamos usar o método de integração por partes, que é super útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui. Para aplicar esse método, precisamos identificar quais funções serão
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, vamos escolher
porque é uma função que sabemos como derivar facilmente. Assim, o
será o restante da integral, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
-
Derivando
: -
Integrando
: (Como estamos fazendo uma integral indefinida, adicionamos a constante de integração, mas ela será descartada na hora de aplicar a fórmula.)
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo pelos valores que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a integral que ficou:
Para simplificar, vamos dividir o numerador pelo denominador:
- Dividindo
por , temos . - Multiplicando
por , obtemos . - Subtraindo isso do numerador original:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos separar essa fração:
Simplificando a primeira fração:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Para o terceiro termo, fazemos uma substituição simples:
Se
, então
. Ajustando os termos:
Passo 8
Juntando todas as integrais calculadas:
Passo 9
Agora, voltando à nossa expressão original da integração por partes:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a:
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