Resolva as integrais usando métodos adequados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Nesse exercício, vamos usar o método de integração por partes, que é super útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui. Para aplicar esse método, precisamos identificar quais funções serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, vamos escolher porque é uma função que sabemos como derivar facilmente. Assim, o será o restante da integral, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
  1. Derivando :
  2. Integrando :
    (Como estamos fazendo uma integral indefinida, adicionamos a constante de integração , mas ela será descartada na hora de aplicar a fórmula.)

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo pelos valores que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral que ficou:
Para simplificar, vamos dividir o numerador pelo denominador:
  1. Dividindo por , temos .
  2. Multiplicando por , obtemos .
  3. Subtraindo isso do numerador original:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos separar essa fração:
Simplificando a primeira fração:
Então, a integral se torna:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Para o terceiro termo, fazemos uma substituição simples:
Se , então . Ajustando os termos:

Passo 8

Juntando todas as integrais calculadas:

Passo 9

Agora, voltando à nossa expressão original da integração por partes:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:

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