Resolva as integrais usando substituição trigonométrica: integral d x(x^2+9)^2

Passo 1

Bom, vamos resolver a integral integral dx(x^2 + 9)^2 usando substituição trigonométrica. Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente na técnica de substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar conhecer as substituições trigonométricas para expressões como x^2 + a^2, além de entender as funções trigonométricas e suas identidades.

Passo 2

Primeiro, observamos que na integral temos x^2 + 9, onde a^2 = 9, então a = 3. Para lidar com essa expressão, usamos a substituição trigonométrica x = a tan theta, ou seja, x = 3 tan theta.

Passo 3

Agora, vamos derivar x em relação a theta para encontrar dx:
x = 3 tan theta dx = 3 sec^2 theta , dtheta

Passo 4

Substituímos x e dx na integral original:
integral dx(x^2 + 9)^2 = integral 3 sec^2 theta , dtheta(9 tan^2 theta + 9)^2

Passo 5

Simplificamos o denominador:
9 tan^2 theta + 9 = 9(tan^2 theta + 1) = 9 sec^2 theta Rightarrow (x^2 + 9)^2 = (9 sec^2 theta)^2 = 81 sec^4 theta

Passo 6

Substituímos no numerador e denominador:
integral 3 sec^2 theta , dtheta81 sec^4 theta = integral 3 , dtheta81 sec^2 theta = integral 3 cos^2 theta , dtheta81 = 127 integral cos^2 theta , dtheta

Passo 7

Para integrar cos^2 theta, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 Rightarrow 127 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 154 integral (1 + cos 2theta) , dtheta

Passo 8

Integrando termo a termo:
154 [ theta + sin 2theta2 ] + C = theta54 + sin 2theta108 + C

Passo 9

Agora, voltamos para x. Sabemos que x = 3 tan theta, então tan theta = x3. Isso significa que:
theta = tan^-1( x3 )
E para sin 2theta, usamos a identidade:
sin 2theta = 2 sin theta cos theta = 2 cdot xraizx^2 + 9 cdot 3raizx^2 + 9 = 6xx^2 + 9

Passo 10

Substituindo tudo de volta na expressão integrada:
154 tan^-1( x3 ) + 1108 cdot 6xx^2 + 9 + C = 154 tan^-1( x3 ) + x18 (x^2 + 9) + C

Resposta

A integral integral dx(x^2 + 9)^2 �� igual a:
154 tan^-1( x3 ) + x18 (x^2 + 9) + C

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