Resolva as integrais usando substituição trigonométrica: integral raiza^2-x^2 d xx^2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede: resolver a integral usando substituição trigonométrica. Isso envolve técnicas de cálculo integral, especialmente aquelas que facilitam a integração de expressões com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma substituição trigonométrica adequada para a expressão . Sabemos que para termos na forma , uma boa substituição é . Isso simplifica a raiz quadrada usando identidades trigonométricas.

Passo 3

Fazendo a substituição raiza^2-x^2 = raiza^2 - a^2sin^2theta = a costheta , temos que . Além disso, substituímos a raiz quadrada:

Passo 4

Substituímos tudo na integral original:
integral raiza^2-x^2x^2 , dx = integral a costhetaa^2 sin^2theta cdot a costheta , dtheta
Simplificando os coeficientes:
= integral a^2 cos^2thetaa^2 sin^2theta , dtheta = integral cos^2thetasin^2theta , dtheta = integral cot^2theta , dtheta

Passo 5

Sabemos que integral cot^2theta , dtheta = integral (csc^2theta - 1) , dtheta = -cottheta - theta + C , então a integral fica:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original cottheta = costhetasintheta = raiza^2-x^2x . Lembrando que , temos:
E .

Resposta

A integral - raiza^2 - x^2x - arcsin(xa) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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