Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente integrando funções que envolvem raízes quadradas de polinômios. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre substituição trigonométrica e manipulação algébrica de expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Temos:
Observamos que podemos completar o quadrado:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão. Vamos deixar . Essa substituição é útil quando temos algo na forma .
Passo 4
Calculamos a derivada de em relação a :
Substituindo na integral, temos:
Passo 5
Vamos simplificar cada parte da expressão:
E dentro da raiz:
Então, substituindo de volta na integral:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Sabemos que e , então:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então . Reescrevendo a integral:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos , então:
Substituindo na expressão da integral:
Simplificando:
Resposta
A integral -raiz(x^2 + 2x + 10)^3243 (x + 1)^3 + raizx^2 + 2x + 1081 (x + 1) + C é igual a: