Resolva as integrais usando substituição trigonométrica: integral d x(x+1)^4 raizx^2+2 x+10

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente integrando funções que envolvem raízes quadradas de polinômios. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre substituição trigonométrica e manipulação algébrica de expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Temos:
x^2 + 2x + 10
Observamos que podemos completar o quadrado:
x^2 + 2x + 1 + 9 = (x+1)^2 + 9
Então, a integral fica:
integral d x(x+1)^4 raiz(x+1)^2 + 9

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão. Vamos deixar . Essa substituição é útil quando temos algo na forma .

Passo 4

Calculamos a derivada de dx = 3 sec^2theta, dtheta em relação a integral 3 sec^2theta, dtheta(3 tantheta)^4 raiz(3 tantheta)^2 + 9 :
Substituindo na integral, temos:

Passo 5

Vamos simplificar cada parte da expressão:
(x+1)^4 = (3 tantheta)^4 = 81 tan^4theta
E dentro da raiz:
raiz(3 tantheta)^2 + 9 = raiz9 tan^2theta + 9 = 3 raiztan^2theta + 1 = 3 sectheta
Então, substituindo de volta na integral:
integral 3 sec^2theta, dtheta81 tan^4theta cdot 3 sectheta = integral sectheta81 tan^4theta, dtheta

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
sectheta81 tan^4theta = 181 cdot secthetatan^4theta
Sabemos que secthetatan^4theta = 1/costheta(sintheta/costheta)^4 = cos^3thetasin^4theta e 181 integral cos^3thetasin^4theta, dtheta , então:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja 181 integral cos^2theta cdot costhetasin^4theta, dtheta = 181 integral 1 - sin^2thetasin^4theta cdot costheta, dtheta = 181 integral (1u^4 - u^2u^4) du , então 181 integral (u^-4 - u^-2) du . Reescrevendo a integral:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^-4, du = u^-3-3 = -13 u^3
integral u^-2, du = u^-1-1 = -1u
Então, a integral fica:
181 ( -13 u^3 + 1u ) + C = 181 ( -13 sin^3theta + 1sintheta ) + C

Passo 9

Agora, precisamos voltar para a variável original sintheta = x + 1raiz(x+1)^2 + 9 = x + 1raizx^2 + 2x + 10 . Lembrando que fizemos 181 ( -13 (x + 1raizx^2 + 2x + 10)^3 + 1x + 1raizx^2 + 2x + 10 ) + C , então:
181 ( -raiz(x^2 + 2x + 10)^33 (x + 1)^3 + raizx^2 + 2x + 10x + 1 ) + C
Substituindo na expressão da integral:
Simplificando:

Resposta

A integral -raiz(x^2 + 2x + 10)^3243 (x + 1)^3 + raizx^2 + 2x + 1081 (x + 1) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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