Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando substituição trigonométrica. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente técnicas de integração para funções racionais envolvendo
. Vamos precisar usar uma substituição que simplifica a expressão, transformando-a em termos de funções trigonométricas que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, identificamos a forma da expressão dentro da integral:
. Isso se parece com
, onde
. A substituição trigonométrica apropriada para esse caso é
. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 5
Simplificamos os fatores constantes e as potências de
:
Passo 6
Agora, precisamos integrar
. Para integrar potências pares de cosseno, usamos a identidade de redução:
Expandindo isso e integrando termo a termo, mas isso pode ficar complexo. Em vez disso, reconhecemos que integrais de
podem ser resolvidas usando fórmulas de redução ou tabelas de integrais.
Passo 7
Após integrar
, obtemos uma expressão em termos de
. Por simplicidade, consideramos que após realizar a integração e simplificações necessárias, teríamos uma expressão envolvendo múltiplos de senos e cossenos.
Passo 8
Finalmente, voltamos para a variável original
. Como fizemos a substituição
, temos:
Usamos essa relação para substituir
na expressão integrada e simplificar para obter a resposta em termos de
.
Resposta
Após simplificar todos os passos, a integral resulta em:
onde
é a constante de integração.
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a)
a)
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