Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
a) integral raiza^2-x^2 d xx^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral raiza^2-x^2 , dxx^2 usando substituição trigonométrica. Aqui, a gente vai precisar usar trigonometria para simplificar a expressão e facilitar a integração. Vamos seguir passo a passo para entender bem como chega na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz quadrada. Vamos definir . Isso é útil porque a identidade trigonométrica vai nos ajudar a simplificar a raiz.

Passo 3

Com a substituição dx = a cos theta , dtheta , precisamos calcular . Derivando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

Agora, substituímos integral raiza^2 - (a sin theta)^2 cdot a cos theta , dtheta(a sin theta)^2 e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raiza^2 - a^2 sin^2 theta = a raiz1 - sin^2 theta = a cos theta
Então, a integral fica:
integral a cos theta cdot a cos theta , dthetaa^2 sin^2 theta = integral a^2 cos^2 thetaa^2 sin^2 theta , dtheta = integral cos^2 thetasin^2 theta , dtheta

Passo 6

A expressão integral cot^2 theta , dtheta é igual a . Então, a integral simplifica para:
Lembrando que .

Passo 7

Sabemos que a integral de integral cot^2 theta , dtheta = -cot theta - theta + C é:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, precisamos voltar para a variável original cot theta = cos thetasin theta = raiz1 - sin^2 thetasin theta = raiz1 - (x/a)^2x/a = raiza^2 - x^2x . Sabemos que:
E também que .

Passo 9

Substituindo esses valores na expressão integrada, obtemos:
-raiza^2 - x^2x - arcsin(xa) + C

Resposta

A solução da integral é:
-raiza^2 - x^2x - arcsin(xa) + C

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