Resolva as integrais das funções trigométricas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral envolvendo funções trigonométricas. A função que precisamos integrar é . Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de substituição e propriedades das potências de funções trigonométricas. Vamos passo a passo entender como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. A raiz cúbica no denominador pode ser reescrita como uma potência racional:
Assim, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que pode ser escrita como . Sabendo que , podemos reescrever a integral:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral dividindo cada termo por :

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo. A integral de é , desde que . Aplicando isso:
Simplificando os expoentes e denominadores:

Passo 7

Continuando a simplificação:

Passo 8

Agora, vamos lembrar que . Substituindo de volta:
Podemos também escrever como .

Resposta

A integral de é:
onde é a constante de integração.

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