Resolva as integrais das funções trigométricas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral envolvendo funções trigonométricas. A função que precisamos integrar é
. Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de substituição e propriedades das potências de funções trigonométricas. Vamos passo a passo entender como fazer isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. A raiz cúbica no denominador pode ser reescrita como uma potência racional:
Assim, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que
pode ser escrita como
. Sabendo que
, podemos reescrever a integral:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na integral:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral dividindo cada termo por
:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo. A integral de
é
, desde que
. Aplicando isso:
Simplificando os expoentes e denominadores:
Passo 7
Continuando a simplificação:
Passo 8
Agora, vamos lembrar que
. Substituindo de volta:
Podemos também escrever
como
.
Resposta
A integral de
é:
onde
é a constante de integração.
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Seja
. Determine todas as retas tangentes ao gráfico de
que passam pelo ponto
Resolva as integrais usando métodos adequados:
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