Resolva as integrais das funções trigométricas: integral sin ^3(x) d xraiz[3]cos ^4(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral envolvendo funções trigonométricas. A função que precisamos integrar é sin^3(x)raiz[3]cos^4(x). Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de substituição e propriedades das potências de funções trigonométricas. Vamos passo a passo entender como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. A raiz cúbica no denominador pode ser reescrita como uma potência racional:
raiz[3]cos^4(x) = cos^43(x)
Assim, nossa integral fica:
integral sin^3(x)cos^43(x) dx

Passo 3

Agora, vamos lembrar que sin^3(x) pode ser escrita como sin^2(x) cdot sin(x). Sabendo que sin^2(x) = 1 - cos^2(x), podemos reescrever a integral:
integral (1 - cos^2(x)) sin(x)cos^43(x) dx

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = cos(x). Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = -sin(x) implies du = -sin(x) dx implies -du = sin(x) dx
Substituindo na integral:
integral (1 - u^2) (-du)u^43 = -integral 1 - u^2u^43 du

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral dividindo cada termo por u^43:
-integral ( u^-43 - u^2 - 43 ) du = -integral ( u^-43 - u^23 ) du

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo. A integral de u^n é u^n+1n+1, desde que n neq -1. Aplicando isso:
- ( u^-43 + 1-43 + 1 - u^23 + 123 + 1 ) + C
Simplificando os expoentes e denominadores:
- ( u^-13-13 - u^5353 ) + C

Passo 7

Continuando a simplificação:
- ( -3 u^-13 - 35 u^53 ) + C = 3 u^-13 + 35 u^53 + C

Passo 8

Agora, vamos lembrar que u = cos(x). Substituindo de volta:
3 cos^-13(x) + 35 cos^53(x) + C
Podemos também escrever cos^-13(x) como 1cos^13(x).

Resposta

A integral de sin^3(x)raiz[3]cos^4(x) dx é:
3 cos^-13(x) + 35 cos^53(x) + C
onde C é a constante de integração.

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