Resolva as integrais usando métodos adequados: integral x ln (1+1x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x ln (1+1x) dx. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente técnicas de integração como substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como manipular logaritmos e aplicar a regra de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Temos ln(1 + 1x). Podemos reescrever isso como:
ln(x + 1x) = ln(x + 1) - ln x
Assim, nossa integral fica:
integral x ( ln(x + 1) - ln x ) dx = integral x ln(x + 1) dx - integral x ln x , dx

Passo 3

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente usando a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 4

Primeiro, resolvendo integral x ln(x + 1) dx:
Escolhemos:
  • u = ln(x + 1), então du = 1x + 1 dx
  • dv = x , dx, então v = x^22
Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x ln(x + 1) dx = x^22 ln(x + 1) - integral x^22 cdot 1x + 1 dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver integral x^22(x + 1) dx. Simplificando a fração:
x^2x + 1 = x - 1 + 1x + 1
Então, a integral fica:
integral x^22(x + 1) dx = 12 integral (x - 1) dx + 12 integral 1x + 1 dx = 12 ( x^22 - x ) + 12 ln|x + 1| + C

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
integral x ln(x + 1) dx = x^22 ln(x + 1) - ( 12 ( x^22 - x ) + 12 ln|x + 1| ) + C
Simplificando:
integral x ln(x + 1) dx = x^22 ln(x + 1) - x^24 + x2 - 12 ln(x + 1) + C

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral x ln x , dx.
Aplicando integração por partes novamente:
Escolhemos:
  • u = ln x, então du = 1x dx
  • dv = x , dx, então v = x^22
Aplicando a fórmula:
integral x ln x , dx = x^22 ln x - integral x^22 cdot 1x dx = x^22 ln x - 12 integral x , dx = x^22 ln x - x^24 + C

Passo 8

Voltando à nossa integral original:
integral x ln(1 + 1x) dx = ( x^22 ln(x + 1) - x^24 + x2 - 12 ln(x + 1) ) - ( x^22 ln x - x^24 ) + C
Simplificando os termos:
x^22 ln(x + 1) - x^24 + x2 - 12 ln(x + 1) - x^22 ln x + x^24 + C
Os termos x^24 se cancelam, então:
x^22 ln(x + 1) + x2 - 12 ln(x + 1) - x^22 ln x + C

Resposta

A integral integral x ln (1+1x) dx é igual a:
x^22 (ln(x + 1) - ln x) + x2 - 12 ln(x + 1) + C
Onde C é a constante de integração.

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