Resolva as integrais usando métodos adequados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente técnicas de integração como substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como manipular logaritmos e aplicar a regra de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Temos
. Podemos reescrever isso como:
Assim, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente usando a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Passo 4
Primeiro, resolvendo
:
Escolhemos:
-
, então -
, então
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 5
Agora, precisamos resolver
. Simplificando a fração:
Então, a integral fica:
Passo 6
Voltando à nossa expressão anterior:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos resolver a segunda integral:
.
Aplicando integração por partes novamente:
Escolhemos:
-
, então -
, então
Aplicando a fórmula:
Passo 8
Voltando à nossa integral original:
Simplificando os termos:
Os termos
se cancelam, então:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.