Resolva as integrais usando métodos adequados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente lidando com integrais envolvendo radicais. Para resolver, a gente vai precisar usar substituição trigonométrica ou completar o quadrado para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Isso pode ser reescrito como
. Para facilitar a resolução, é bom completar o quadrado nessa expressão quadrática. Completar o quadrado ajuda a transformar a expressão em uma forma que é mais fácil de integrar, especialmente quando temos uma raiz quadrada no denominador.
Passo 3
Completando o quadrado para
:
Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado para
. Metade de 6 é 3, e 3 ao quadrado é 9:
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 4
Agora, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Deixe
, então
e
. Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos dividir a integral em duas partes:
Cada uma dessas integrais pode ser resolvida separadamente.
Passo 6
Primeira integral:
Aqui, fazemos uma substituição simples. Deixe
, então
. Reescrevendo a integral:
Passo 7
Segunda integral:
Essa é uma integral padrão que resulta em uma função arco seno:
Passo 8
Juntando as duas partes:
Agora, substituímos
de volta:
Resposta
A integral é igual a:
Exercícios relacionados
Resolva as integrais usando métodos adequados:
Resolva as integrais das funções trigométricas:
Resolva as integrais usando métodos adequados:
Quando o sol está a
acima do horizonte, qual o comprimento da sombra projetada por um edifício de 50 m ?