Resolva as integrais usando métodos adequados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente lidando com integrais envolvendo radicais. Para resolver, a gente vai precisar usar substituição trigonométrica ou completar o quadrado para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: . Isso pode ser reescrito como . Para facilitar a resolução, é bom completar o quadrado nessa expressão quadrática. Completar o quadrado ajuda a transformar a expressão em uma forma que é mais fácil de integrar, especialmente quando temos uma raiz quadrada no denominador.

Passo 3

Completando o quadrado para :
Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Agora, completamos o quadrado para . Metade de 6 é 3, e 3 ao quadrado é 9:
Então, a expressão dentro da raiz fica:

Passo 4

Agora, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Deixe , então e . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos dividir a integral em duas partes:
Cada uma dessas integrais pode ser resolvida separadamente.

Passo 6

Primeira integral:
Aqui, fazemos uma substituição simples. Deixe , então . Reescrevendo a integral:

Passo 7

Segunda integral:
Essa é uma integral padrão que resulta em uma função arco seno:

Passo 8

Juntando as duas partes:
Agora, substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a:

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