Resolva as integrais usando métodos adequados: integral (2 x-9) d xraiz6 x-5-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente lidando com integrais envolvendo radicais. Para resolver, a gente vai precisar usar substituição trigonométrica ou completar o quadrado para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: . Isso pode ser reescrito como . Para facilitar a resolução, é bom completar o quadrado nessa expressão quadrática. Completar o quadrado ajuda a transformar a expressão em uma forma que é mais fácil de integrar, especialmente quando temos uma raiz quadrada no denominador.

Passo 3

Completando o quadrado para - (x^2 - 6x) - 5 :
Primeiro, fatoramos o coeficiente de - [ (x^2 - 6x + 9) - 9 ] - 5 = - (x - 3)^2 + 9 - 5 = - (x - 3)^2 + 4 :
raiz6x - 5 - x^2 = raiz4 - (x - 3)^2
Agora, completamos o quadrado para . Metade de 6 é 3, e 3 ao quadrado é 9:
Então, a expressão dentro da raiz fica:

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral 2x - 9raiz4 - (x - 3)^2 , dx
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Deixe integral 2(u + 3) - 9raiz4 - u^2 , du = integral 2u + 6 - 9raiz4 - u^2 , du = integral 2u - 3raiz4 - u^2 , du , então e . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos dividir a integral em duas partes:
integral 2uraiz4 - u^2 , du - integral 3raiz4 - u^2 , du
Cada uma dessas integrais pode ser resolvida separadamente.

Passo 6

Primeira integral: - integral dvraizv = -2raizv + C = -2raiz4 - u^2 + C
Aqui, fazemos uma substituição simples. Deixe , então . Reescrevendo a integral:

Passo 7

Segunda integral: 3 arcsin(u2) + C
Essa é uma integral padrão que resulta em uma função arco seno:

Passo 8

Juntando as duas partes:
-2raiz4 - u^2 - 3 arcsin(u2) + C
Agora, substituímos -2raiz4 - (x - 3)^2 - 3 arcsin(x - 32) + C de volta:

Resposta

A integral é igual a:
-2raiz4 - (x - 3)^2 - 3 arcsin(x - 32) + C

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