Resolva as integrais indefinidas usando o método da substituição trigonométrica.
h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos integrais que envolvem expressões quadráticas dentro de raízes. Vamos precisar entender como fazer a substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir para facilitar a integração:
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos distribuir a raiz sobre os termos dentro da integral:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Para a primeira integral , usamos a substituição trigonométrica. Vamos definir:
Então, e .

Passo 5

Substituindo na primeira integral:
Essa integral pode ser complexa, então vamos optar por outra abordagem mais simples para resolver toda a expressão.

Passo 6

Observando a integral original, podemos fazer uma substituição mais direta. Seja . Então, , o que nos permite reescrever a integral de forma mais simples.

Passo 7

Reescrevendo a integral com :
Expandimos anteriormente e substituímos , então:
Utilizando , a segunda integral simplifica para .

Passo 8

Integrando as partes separadamente:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Voltando para a variável original , lembrando que :

Resposta

A integral é igual a:

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