Resolva as integrais: integral[(1+raizx)^3raizx] d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral[(1+raizx)^3raizx] d x. Aqui, estamos trabalhando com integração de funções algébricas. Para resolver, vamos precisar expandir a expressão (1+raizx)^3 e simplificar a fração antes de integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (1 + raizx)^3. Usando a fórmula do binômio de Newton:
(1 + raizx)^3 = 1^3 + 3 cdot 1^2 cdot raizx + 3 cdot 1 cdot (raizx)^2 + (raizx)^3 = 1 + 3raizx + 3x + x^32

Passo 3

Agora, vamos substituir a expansão na integral e simplificar a fração:
integral 1 + 3raizx + 3x + x^32raizx , dx
Para simplificar, dividimos cada termo do numerador por raizx:
integral ( 1raizx + 3 + 3raizx + x ) dx

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral 1raizx , dx = integral x^-12 , dx = 2x^12 = 2raizx
  2. integral 3 , dx = 3x
  3. integral 3raizx , dx = 3 integral x^12 , dx = 3 cdot 23x^32 = 2x^32 = 2xraizx
  4. integral x , dx = 12x^2

Passo 5

Agora, juntamos todas as integrais calculadas:
2raizx + 3x + 2xraizx + 12x^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a 2raizx + 3x + 2xraizx + 12x^2 + C.

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