Resolva as integrais: integral x^2 raiz[3]3 x^3+7 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x^2 raiz[3]3 x^3+7 , dx. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente na técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que possa ser substituída por uma nova variável, simplificando a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Observamos que dentro da raiz cúbica temos a expressão 3x^3 + 7. Vamos definir:
u = 3x^3 + 7

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 9x^2 implies du = 9x^2 , dx
Isso nos permite expressar x^2 , dx em termos de du:
x^2 , dx = du9

Passo 4

Substituímos na integral original os termos de u e du:
integral x^2 raiz[3]3x^3 +7 , dx = integral raiz[3]u cdot du9 = 19 integral u^1/3 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^1/3 em relação a u:
integral u^1/3 , du = u^4/34/3 + C = 34 u^4/3 + C
Portanto,
19 integral u^1/3 , du = 19 cdot 34 u^4/3 + C = 112 u^4/3 + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original x substituindo u de volta:
112 u^4/3 + C = 112 (3x^3 + 7)^4/3 + C

Resposta

integral x^2 raiz[3]3 x^3+7 , dx = (3x^3+7)^4/312 + C

Exercícios relacionados