Resolva as integrais: integral[x(x^2+5)^3] d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral[x(x^2+5)^3] dx. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo substituição para integrais que contêm funções compostas. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser substituída, simplificará a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observamos que o denominador é uma função composta (x^2 + 5)^3 e o numerador contém x, que é a derivada de x^2 + 5. Isso sugere que podemos usar a substituição u = x^2 + 5.

Passo 3

Com a substituição u = x^2 + 5, precisamos encontrar o diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x, temos:
du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx
Isso nos permite reescrever o x , dx na integral em termos de u.

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral x(x^2 + 5)^3 , dx = integral 1u^3 cdot du2 = 12 integral u^-3 , du
Agora, a integral está em termos de u e é mais fácil de resolver.

Passo 5

Integrando u^-3 em relação a u:
12 integral u^-3 , du = 12 cdot ( u^-2-2 ) + C = -14 u^-2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta para a variável original x:
-14 (x^2 + 5)^-2 + C

Resposta

A integral é igual a -14(x^2 + 5)^-2 + C.

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