Resolva as integrais: integral x raiz[3]4-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x raiz[3]4 - x^2 , dx. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função polinomial x multiplicada pela raiz cúbica de uma expressão quadrática 4 - x^2. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável u que seja igual ao que está dentro da raiz cúbica. Então, vamos deixar:
u = 4 - x^2
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, que nos ajudará a substituir dx na integral.

Passo 3

Calculando a derivada de u:
dudx = -2x
Isso significa que:
du = -2x , dx
Queremos expressar x , dx em termos de du, então vamos rearranjar:
x , dx = -12 du

Passo 4

Agora, substituímos u e x , dx na integral original:
integral x raiz[3]4 - x^2 , dx = integral raiz[3]u cdot (-12 du)
Podemos tirar a constante -12 para fora da integral:
-12 integral u^1/3 , du
Aqui, usamos a propriedade de potências para reescrever a raiz cúbica como expoente fracionário.

Passo 5

Agora, vamos integrar u^1/3 em relação a u. A regra de integração para u^n é:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso:
integral u^1/3 , du = u^4/34/3 + C = 34 u^4/3 + C

Passo 6

Voltando à nossa integral original:
-12 cdot 34 u^4/3 + C = -38 u^4/3 + C
Agora, substituímos u de volta em termos de x:
u = 4 - x^2
Então:
-38 (4 - x^2)^4/3 + C

Resposta

A integral é igual a:
-38 (4 - x^2)^4/3 + C

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