Resolva as integrais:
integral 1t(t^2+1) d t

Passo 1

Então, temos para resolver a integral integral 1t(t^2+1) , dt. Vamos usar o conteúdo de integrais e frações parciais para resolver isso. Precisamos decompor essa fração em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 1t(t^2 + 1) em frações parciais. Queremos achar números A e B tais que:
1t(t^2 + 1) = At + B t + Ct^2 + 1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por t(t^2 + 1) para eliminar os denominadores, temos:
1 = A(t^2 + 1) + (B t + C)t
Simplificando:
1 = A t^2 + A + B t^2 + C t
Agrupando termos semelhantes:
1 = (A + B)t^2 + C t + A

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de t em ambos os lados da igualdade:
  • Para t^2: A + B = 0
  • Para t: C = 0
  • Para o termo constante: A = 1

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  • De A = 1, já temos A.
  • De A + B = 0, substituindo A: 1 + B = 0 então B = -1
  • C = 0
Então, a decomposição fica:
1t(t^2 + 1) = 1t - tt^2 + 1

Passo 6

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 1t , dt - integral tt^2 + 1 , dt

Passo 7

Integrando cada parte:
  • integral 1t , dt = ln|t| + C1
  • Para integral tt^2 + 1 , dt, fazemos uma substituição u = t^2 + 1, então du = 2t , dt, ou seja, 12 du = t , dt. Assim:
integral tt^2 + 1 , dt = 12 ln|t^2 + 1| + C2

Passo 8

Juntando as integrais:
ln|t| - 12 ln(t^2 + 1) + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral vale ln|t| - 12 ln(t^2+1) + C, onde C é a constante de integração.

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