Resolva as integrais:
Passo 1
Então, temos para resolver a integral
. Vamos usar o conteúdo de integrais e frações parciais para resolver isso. Precisamos decompor essa fração em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. Queremos achar números A e B tais que:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de t em ambos os lados da igualdade:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
- De
, já temos A. - De
, substituindo A: então -
Então, a decomposição fica:
Passo 6
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Passo 7
Integrando cada parte:
-
- Para
, fazemos uma substituição , então , ou seja, . Assim:
Passo 8
Juntando as integrais:
onde C é a constante de integração.
Resposta
A integral vale
, onde C é a constante de integração.
Exercícios relacionados
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Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia: (i)
Encontre a integral indefinida
para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,