Resolva as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
Essa é uma integral de uma função racional, ou seja, o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar divisão polinomial e, depois, frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar os graus dos polinômios. O grau do numerador (
) é 3 e do denominador (
) é 2. Como o grau do numerador é maior, precisamos fazer uma divisão polinomial.
Passo 3
Vamos dividir
por
.
Dividindo
por
dá
. Multiplicamos
por
:
Subtraindo isso do numerador original:
Passo 4
Agora, a integral fica:
Vamos focar na segunda integral. Para simplificar, podemos fatorar o denominador.
Passo 5
Fatorando o denominador
:
Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão 3. Esses números são 1 e 2.
Então:
Passo 6
Agora, vamos expressar a fração
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Expandindo o lado direito:
Comparando com o lado esquerdo:
Notamos que não há termo
no lado direito, então isso indica que houve um erro na divisão anterior. Vamos corrigir a divisão polinomial.
Passo 8
Refazendo a divisão:
Dividindo
por
, encontramos:
Agora, vamos decompor
em frações parciais.
Passo 9
Expressando em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Passo 10
Comparando os coeficientes:
Para
:
Para os termos constantes:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então:
Passo 11
Agora, substituindo os valores de
e
:
Passo 12
Voltando à integral original, temos:
Substituindo pelas frações parciais:
Passo 13
Integrando cada termo:
Passo 14
Substituindo as integrais:
Simplificando:
Resposta
A integral é igual a:
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Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia: (i)