Resolva as integrais:
integral r^3-r^2+12 r^2+3 r+1 d r

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral r^3-r^2+12 r^2+3 r+1 , dr
Essa é uma integral de uma função racional, ou seja, o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar divisão polinomial e, depois, frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar os graus dos polinômios. O grau do numerador ( r^3) é 3 e do denominador ( 2r^2) é 2. Como o grau do numerador é maior, precisamos fazer uma divisão polinomial.

Passo 3

Vamos dividir r^3-r^2+1 por 2 r^2+3 r+1.
Dividindo r^3 por 2r^2 12r. Multiplicamos 12r por 2r^2 + 3r +1:
12r times (2r^2 + 3r +1) = r^3 + 32r^2 + 12r
Subtraindo isso do numerador original:
(r^3 - r^2 +1) - (r^3 + 32r^2 + 12r) = -52r^2 - 12r +1

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral 12r , dr + integral -52r^2 - 12r +1 2 r^2+3 r+1 , dr
Vamos focar na segunda integral. Para simplificar, podemos fatorar o denominador.

Passo 5

Fatorando o denominador 2 r^2+3 r+1:
Procuramos dois números que multiplicados dão 2 times 1 = 2 e somados dão 3. Esses números são 1 e 2.
Então:
2r^2 +3r +1 = (2r +1)(r +1)

Passo 6

Agora, vamos expressar a fração -52r^2 - 12r +1 (2r +1)(r +1) em frações parciais:
-52r^2 - 12r +1 (2r +1)(r +1) = A2r +1 + Br +1
Multiplicando ambos os lados por (2r +1)(r +1):
-52r^2 - 12r +1 = A(r +1) + B(2r +1)

Passo 7

Expandindo o lado direito:
A r + A + 2B r + B = (A + 2B)r + (A + B)
Comparando com o lado esquerdo:
-52r^2 - 12r +1 = (A + 2B)r + (A + B)
Notamos que não há termo r^2 no lado direito, então isso indica que houve um erro na divisão anterior. Vamos corrigir a divisão polinomial.

Passo 8

Refazendo a divisão:
Dividindo r^3 - r^2 +1 por 2r^2 +3r +1, encontramos:
r^3 - r^2 +12r^2 +3r +1 = 12r - 54 + 7/4 r +22r^2 +3r +1
Agora, vamos decompor 7/4 r +2(2r +1)(r +1) em frações parciais.

Passo 9

Expressando em frações parciais:
7/4 r +2(2r +1)(r +1) = A2r +1 + Br +1
Multiplicando ambos os lados por (2r +1)(r +1):
74 r +2 = A(r +1) + B(2r +1)
Expandindo:
A r + A + 2B r + B = (A + 2B)r + (A + B)

Passo 10

Comparando os coeficientes:
Para r:
74 = A + 2B
Para os termos constantes:
2 = A + B
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
A = 2 - B
Substituindo na primeira:
74 = (2 - B) + 2B
74 = 2 + B
B = 74 -2 = -14
Então:
A = 2 - (-14) = 94

Passo 11

Agora, substituindo os valores de A e B:

Passo 12

Voltando à integral original, temos:
integral 12r , dr - 54 integral 7/4 r +22r^2 +3r +1 , dr
Substituindo pelas frações parciais:
integral 12r , dr - 54 ( 94 integral 12r +1 , dr - 14 integral 1r +1 , dr )

Passo 13

Integrando cada termo:
  • integral 12r , dr = 12 cdot r^22 = r^24
  • integral 12r +1 , dr = 12 ln|2r +1|
  • integral 1r +1 , dr = ln|r +1|

Passo 14

Substituindo as integrais:
r^24 - 54 ( 94 cdot 12 ln|2r +1| - 14 ln|r +1| ) + C
Simplificando:
r^24 - 4532 ln|2r +1| + 516 ln|r +1| + C

Resposta

A integral é igual a:
r^24 - 4532 ln|2 r +1| + 516 ln|r +1| + C

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