Resolva as integrais: integral-pi / 6^pi / 6(x+sen 5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais definidas. Para resolver isso, vamos integrar cada termo dentro dos parênteses separadamente e depois somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes:
integral-pi / 6^pi / 6 x , dx + integral-pi / 6^pi / 6 sin 5x , dx
Isso facilita a resolução, pois podemos tratar cada integral de forma individual.

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral integral x , dx = x^22 . A antiderivada de é , pois ao derivar voltamos a .
Então,

Passo 4

Agora, resolvemos a segunda integral integral sin 5x , dx = -15 cos 5x . A antiderivada de é , porque ao derivar retornamos a .
Então,

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração a cada antiderivada.
Para a primeira parte:
x^22 |-pi / 6^pi / 6 = (pi/6)^22 - (-pi/6)^22 = pi^272 - pi^272 = 0
Note que é uma função par, então sua integral simétrica em torno de zero resulta em zero.

Passo 6

Para a segunda parte:
-15 cos 5x |-pi / 6^pi / 6 = -15 cos(5pi6) + 15 cos(-5pi6)
Sabemos que = -15 cos(5pi6) + 15 cos(5pi6) = 0 , então:

Passo 7

Somando as duas partes:
0 + 0 = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

Exercícios relacionados