Resolva as integrais: integralpi / 4^pi / 3(4 sen 2 theta+6 cos 3 theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular . Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente de integração de funções trigonométricas. Precisaremos saber como integrar senos e cossenos com argumentos múltiplos.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada parte separadamente. Lembre-se que a integral de é e a de é .

Passo 4

Integrando :

Passo 5

Integrando integral 6 cos 3 theta , dtheta = 6 (13 sen 3theta) = 2 sen 3theta :

Passo 6

Agora, juntamos as duas integrais:
Aplica-se os limites de integração de -2 cos 2theta + 2 sen 3theta a .

Passo 7

Calculando em -2 cos (2 cdot pi3) + 2 sen (3 cdot pi3) = -2 cos (2pi3) + 2 sen pi :
Sabemos que -2 (-12) + 2 cdot 0 = 1 + 0 = 1 e , então:

Passo 8

Calculando em -2 cos (2 cdot pi4) + 2 sen (3 cdot pi4) = -2 cos (pi2) + 2 sen (3pi4) :
Sabemos que -2 cdot 0 + 2 cdot raiz22 = 0 + raiz2 = raiz2 e , então:

Resposta

A integral vale .

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