Resolva as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais que envolvem funções racionais e raízes quadradas de polinômios de segundo grau. Para resolver, vamos precisar simplificar o denominador usando métodos de álgebra, como completar o quadrado, e depois aplicar uma substituição adequada para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador
. Para facilitar, vamos rearranjar os termos:
Agora, vamos completar o quadrado para essa expressão quadrática. Completar o quadrado nos ajuda a reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de integrar.
Passo 3
Completar o quadrado para
:
Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Tomamos metade do coeficiente de
, que é
, e o quadrado, que é
:
Portanto, a expressão original fica:
Passo 4
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Substituindo na integral:
Mas, como
, a integral fica:
Passo 5
Agora, resolvemos as duas integrais separadamente:
-
:
Fazemos a substituição
, então
, ou seja,
. A integral se torna:
-
:
Esta é uma integral padrão que resulta em
.
Portanto, juntando as duas partes:
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.