Resolva as integrais: integral xraiz3-2 x-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais que envolvem funções racionais e raízes quadradas de polinômios de segundo grau. Para resolver, vamos precisar simplificar o denominador usando métodos de álgebra, como completar o quadrado, e depois aplicar uma substituição adequada para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador - x^2 - 2x + 3 . Para facilitar, vamos rearranjar os termos:
Agora, vamos completar o quadrado para essa expressão quadrática. Completar o quadrado nos ajuda a reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de integrar.

Passo 3

Completar o quadrado para - (x^2 + 2x) + 3 :
Primeiro, fatoramos o coeficiente de - ( (x + 1)^2 - 1 ) + 3 = - (x + 1)^2 + 1 + 3 = - (x + 1)^2 + 4 :
raiz3 - 2x - x^2 = raiz4 - (x + 1)^2
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Tomamos metade do coeficiente de , que é , e o quadrado, que é :
Portanto, a expressão original fica:

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = x + 1 Rightarrow du = dx
Substituindo na integral:
integral xraiz4 - u^2 , du
Mas, como integral u - 1raiz4 - u^2 , du = integral uraiz4 - u^2 , du - integral 1raiz4 - u^2 , du , a integral fica:

Passo 5

Agora, resolvemos as duas integrais separadamente:
  1. - 12 integral 1raizv , dv = - 12 cdot 2 raizv = -raiz4 - u^2 :
Fazemos a substituição - raiz4 - u^2 - arcsin(u2) + C , então , ou seja, . A integral se torna:
  1. :
Esta é uma integral padrão que resulta em .
Portanto, juntando as duas partes:

Passo 6

Finalmente, substituímos - raiz4 - (x + 1)^2 - arcsin(x + 12) + C de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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