Resolva as integrais: integral tg(x) sec ^2(x) d x

Passo 1

Estamos resolvendo a integral integral tan(x) sec^2(x) , dx. Isso faz parte do cálculo de integrais, especialmente utilizando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma função dentro da integral que facilite essa substituição.

Passo 2

Observamos que tan(x) tem uma derivada que envolve sec^2(x). Isso é uma dica de que podemos usar a substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos definir uma substituição:
u = tan(x)
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a x para encontrar du:
dudx = sec^2(x) Rightarrow du = sec^2(x) , dx

Passo 4

Substituímos u e du na integral original:
integral tan(x) sec^2(x) , dx = integral u , du

Passo 5

Agora, resolvemos a integral simplificada:
integral u , du = u^22 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta para a função original:
u^22 + C = tan^2(x)2 + C

Resposta

A integral integral tan(x) sec^2(x) , dx é igual a dfrac12 tan^2(x) + C, onde C é a constante de integração.

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