Resolva as integrais: integral-1^1(v^2-1)^3 v d v

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral definida . Essa questão está relacionada ao cálculo integral, especificamente envolvendo funções polinomiais e propriedades de simetria. Para resolver, vamos usar técnicas de integração e observar se a função possui alguma característica que facilite o cálculo, como ser uma função ímpar ou par.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral: f(-v) = ((-v)^2-1)^3 (-v) = (v^2-1)^3 (-v) = -(v^2-1)^3 v = -f(v) . Vamos verificar se essa função é ímpar ou par. Uma função é ímpar se .
Calculando:
Isso mostra que a função é ímpar.

Passo 3

Sabendo que a função é ímpar e que os limites da integral são simétricos em relação a zero (de a ), podemos usar uma propriedade importante: a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é igual a zero.

Resposta

Portanto, .

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