Resolva as integrais: integral(x+ln xx) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral(x + ln xx) dx. O que precisamos aqui é usar um pouco de álgebra para simplificar a expressão dentro da integral e depois aplicar técnicas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da integral dividindo cada termo por x. Assim:
x + ln xx = xx + ln xx = 1 + ln xx
Então, a integral fica:
integral (1 + ln xx) dx

Passo 3

Agora, separando a integral em duas partes, temos:
integral 1 , dx + integral ln xx , dx
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

A primeira integral é bem simples:
integral 1 , dx = x
Isso porque a integral de 1 em relação a x é apenas x.

Passo 5

A segunda integral é um pouco mais interessante:
integral ln xx , dx
Aqui, a gente reconhece que a derivada de (ln x)^2 é 2 cdot ln x cdot 1x. Então, para integrar ln xx, basta dividir por 2:
integral ln xx , dx = (ln x)^22

Resposta

Juntando tudo, a integral resolvida é:
x + (ln x)^22 + C
Onde C é a constante de integração.

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