Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado a integrais racionais, e para resolvê-lo vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a dividir expressões racionais em partes mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador. Podemos colocar em evidência:
Passo 3
Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:
Como o grau do numerador (2) é menor que o do denominador (3), podemos seguir direto para a decomposição em frações parciais.
Passo 4
Vamos expressar a fração como soma de outras frações:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 6
Expandindo o lado direito da equação:
Passo 7
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações:
Da terceira equação, temos .
Substituindo na primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Passo 10
Então, a decomposição em frações parciais fica:
Podemos simplificar um pouco mais a segunda fração:
Passo 11
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 12
Para a primeira integral:
Para a segunda integral, vamos simplificar o numerador para facilitar a integração:
Passo 13
Vamos completar o quadrado no denominador :
Agora, a integral se torna:
Passo 14
Aplicando uma substituição , então , temos:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
A primeira parte resulta em um logaritmo, e a segunda envolve uma função inversa hiperbólica.