Resolva as integrais: integral x^2-3 x+5x^3+3 x^2+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado a integrais racionais, e para resolvê-lo vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a dividir expressões racionais em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3+3x^2+x = x(x^2+3x+1) . Podemos colocar em evidência:

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:
integral x^2-3x+5x(x^2+3x+1) , dx
Como o grau do numerador (2) é menor que o do denominador (3), podemos seguir direto para a decomposição em frações parciais.

Passo 4

Vamos expressar a fração como soma de outras frações:
x^2-3x+5x(x^2+3x+1) = Ax + Bx + Cx^2+3x+1
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por x^2-3x+5 = A(x^2+3x+1) + (Bx + C)x para eliminar os denominadores:

Passo 6

Expandindo o lado direito da equação:
x^2-3x+5 = A x^2 + 3A x + A + Bx^2 + Cx

Passo 7

Agrupando os termos semelhantes:
x^2-3x+5 = (A + B)x^2 + (3A + C)x + A

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B = 1 3A + C = -3 A = 5

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da terceira equação, temos 5 + B = 1 Rightarrow B = -4 .
  2. Substituindo 3(5) + C = -3 Rightarrow 15 + C = -3 Rightarrow C = -18 na primeira equação:
  3. Substituindo na segunda equação:

Passo 10

Então, a decomposição em frações parciais fica:
x^2-3x+5x(x^2+3x+1) = 5x + -4x -18x^2+3x+1
Podemos simplificar um pouco mais a segunda fração:
-4x -18x^2+3x+1 = -4x -18x^2+3x+1

Passo 11

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 5x , dx + integral -4x -18x^2+3x+1 , dx

Passo 12

Para a primeira integral:
integral 5x , dx = 5 ln |x| + C1
Para a segunda integral, vamos simplificar o numerador para facilitar a integração:
-4x -18x^2+3x+1 = -4(x + 184)x^2+3x+1 = -4x -18x^2+3x+1

Passo 13

Vamos completar o quadrado no denominador x^2+3x+1 = (x + 32)^2 - 54 :
integral -4x -18(x + 32)^2 - 54 , dx
Agora, a integral se torna:

Passo 14

Aplicando uma substituição integral -4u -15u^2 - 54 , du , então -4 integral uu^2 - 54 , du - 15 integral 1u^2 - 54 , du , temos:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
A primeira parte resulta em um logaritmo, e a segunda envolve uma função inversa hiperbólica.

Passo 15

Calculando as integrais:
-2 ln|u^2 - 54| - 15raiz5 tanh^-1(2uraiz5) + C
Substituindo -2 ln|x^2 + 3x + 1| - 15raiz5 tanh^-1(2x + 3raiz5) + C de volta, temos:

Resposta

Portanto, a integral resolvida é:
5 ln|x| - 2 ln|x^2+3x+1| - 15raiz5 tanh^-1(2x + 3raiz5) + C

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