Resolva as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado a integrais racionais, e para resolvê-lo vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a dividir expressões racionais em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos colocar em evidência:

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:
Como o grau do numerador (2) é menor que o do denominador (3), podemos seguir direto para a decomposição em frações parciais.

Passo 4

Vamos expressar a fração como soma de outras frações:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 6

Expandindo o lado direito da equação:

Passo 7

Agrupando os termos semelhantes:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da terceira equação, temos .
  2. Substituindo na primeira equação:
  3. Substituindo na segunda equação:

Passo 10

Então, a decomposição em frações parciais fica:
Podemos simplificar um pouco mais a segunda fração:

Passo 11

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 12

Para a primeira integral:
Para a segunda integral, vamos simplificar o numerador para facilitar a integração:

Passo 13

Vamos completar o quadrado no denominador :
Agora, a integral se torna:

Passo 14

Aplicando uma substituição , então , temos:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
A primeira parte resulta em um logaritmo, e a segunda envolve uma função inversa hiperbólica.

Passo 15

Calculando as integrais:
Substituindo de volta, temos:

Resposta

Portanto, a integral resolvida é:

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas (pode utilizar todas as leis das derivadas…):
Resolva as integrais:
Calcule as derivadas:
Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(h)