Sejam
e
polinômios de grau
e
respectivamente (exemplo
. Quanto vale
? Prove a sua afirmação, considerando os casos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos dois polinômios,
e
, de graus
e
respectivamente. Queremos encontrar o limite
. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções polinomiais quando
tende ao infinito, considerando os casos onde os graus dos polinômios são iguais (
) e onde o grau do numerador é menor que o do denominador (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o grau de um polinômio é o maior expoente de
que aparece nele. Por exemplo, em
, o grau é
.
Passo 3
Quando calculamos o limite de
para
tendendo ao infinito, o comportamento dominante vem dos termos de maior grau de cada polinômio. Isso porque, conforme
cresce, os termos de menor grau se tornam insignificantes comparados aos de maior grau.
Passo 4
Vamos considerar o caso onde os graus são iguais, ou seja,
. Nesse caso, as maiores potências de
nos dois polinômios são as mesmas, e o limite será o coeficiente do termo de maior grau no numerador dividido pelo coeficiente do termo de maior grau no denominador.
Matematicamente:
onde
e
são os coeficientes dos termos de maior grau em
e
, respectivamente.
Passo 5
Agora, vamos analisar o caso onde o grau do numerador é menor que o do denominador, ou seja,
. Aqui, como o denominador tem um grau maior, conforme
cresce, o denominador aumenta muito mais rápido que o numerador. Isso faz com que a fração inteira se aproxime de zero.
Matematicamente:
Resposta
Portanto, temos que:
- Se
, então . - Se
, então .