Sejam P(x) e Q(x) polinômios de grau m e n respectivamente (exemplo P(x)=am x^m+ am-1 x^m-1+cdots+a0). Quanto vale lim x +infty P(x)Q(x) ? Prove a sua afirmação, considerando os casos m=n e m.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos dois polinômios, e , de graus e respectivamente. Queremos encontrar o limite . Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções polinomiais quando tende ao infinito, considerando os casos onde os graus dos polinômios são iguais ( ) e onde o grau do numerador é menor que o do denominador ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o grau de um polinômio é o maior expoente de que aparece nele. Por exemplo, em , o grau é .

Passo 3

Quando calculamos o limite de para tendendo ao infinito, o comportamento dominante vem dos termos de maior grau de cada polinômio. Isso porque, conforme cresce, os termos de menor grau se tornam insignificantes comparados aos de maior grau.

Passo 4

Vamos considerar o caso onde os graus são iguais, ou seja, limx +infty P(x)Q(x) = ambn . Nesse caso, as maiores potências de nos dois polinômios são as mesmas, e o limite será o coeficiente do termo de maior grau no numerador dividido pelo coeficiente do termo de maior grau no denominador.
Matematicamente:
onde e são os coeficientes dos termos de maior grau em e , respectivamente.

Passo 5

Agora, vamos analisar o caso onde o grau do numerador é menor que o do denominador, ou seja, limx +infty P(x)Q(x) = 0 . Aqui, como o denominador tem um grau maior, conforme cresce, o denominador aumenta muito mais rápido que o numerador. Isso faz com que a fração inteira se aproxime de zero.
Matematicamente:

Resposta

Portanto, temos que:
  • Se , então .
  • Se , então .

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