Resolva as integrais: integral-1^0(2 x+3)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral-1^0(2x + 3)^2 dx. Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integração de funções polinomiais elevadas a uma potência. Pra resolver, vamos precisar expandir a expressão e integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (2x + 3)^2. Usando a fórmula do quadrado da soma, temos:
(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 cdot 2x cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com a expressão expandida:
integral-1^0 (4x^2 + 12x + 9) dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de x^n é x^n+1n+1. Então:
  • integral 4x^2 dx = 4 cdot x^33 = 43x^3
  • integral 12x dx = 12 cdot x^22 = 6x^2
  • integral 9 dx = 9x

Passo 5

Juntando as integrais, a antiderivada é:
43x^3 + 6x^2 + 9x

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de -1 a 0:
[ 43x^3 + 6x^2 + 9x ]-1^0

Passo 7

Primeiro, avaliamos em 0:
43(0)^3 + 6(0)^2 + 9(0) = 0

Passo 8

Depois, avaliamos em -1:
43(-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = 43(-1) + 6(1) - 9 = -43 + 6 - 9
= -43 - 3 = -43 - 93 = -133

Passo 9

Subtraímos o valor em -1 do valor em 0:
0 - (-133) = 133

Resposta

O valor da integral é 133.

Exercícios relacionados