Resolva as integrais usando métodos adequados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com integrais que envolvem funções racionais com raízes. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos definir:
Assim, temos:
Substituindo na integral, ficamos com:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração:
Então, a integral fica:

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos fazer uma nova substituição. Vamos definir:
Precisamos encontrar em termos de . Calculando a derivada:
Isso pode complicar um pouco, então vamos tentar uma abordagem diferente. Vamos multiplicar numerador e denominador pela conjugada para racionalizar a expressão.

Passo 5

Multiplicando numerador e denominador por , temos:
Isso ainda está complicado, então vamos tentar outra abordagem de substituição.

Passo 6

Vamos tentar substituir de forma que as raízes desapareçam. Definimos:
Substituindo na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 7

Vamos simplificar cada parte separadamente. Para o primeiro termo:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos fazer outra substituição para . Definimos:
Substituindo na primeira integral:
E na segunda integral:

Passo 9

Vamos simplificar as integrais:
Primeira integral:
Aqui, fazemos divisão polinomial:
Então, a integral se torna:
Segunda integral:
Podemos decompor em frações parciais:
Resolvendo para A, B, C, D, encontramos os coeficientes e integramos cada termo.

Passo 10

Após integrar todas as partes e substituir de volta as variáveis , , e , finalmente retornamos à variável original .

Resposta

A integral resolvida é:
Substituindo de volta , temos a solução final em termos de :
Onde é a constante de integração.

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