Resolva as integrais usando métodos adequados: integral x d x(x+2)(raizx+2+raiz[3]x+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral x , dx(x+2)(raizx+2 + raiz[3]x+2)
Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com integrais que envolvem funções racionais com raízes. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos definir:
u = x + 2
Assim, temos:
du = dx e x = u - 2
Substituindo na integral, ficamos com:
integral (u - 2) , duu(raizu + raiz[3]u)

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração:
u - 2u(raizu + raiz[3]u) = uu(raizu + raiz[3]u) - 2u(raizu + raiz[3]u) = 1raizu + raiz[3]u - 2u(raizu + raiz[3]u)
Então, a integral fica:
integral ( 1raizu + raiz[3]u - 2u(raizu + raiz[3]u) ) du

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos fazer uma nova substituição. Vamos definir:
v = raizu + raiz[3]u
Precisamos encontrar dvdu = 12raizu + 13u^2/3 em termos de . Calculando a derivada:
Isso pode complicar um pouco, então vamos tentar uma abordagem diferente. Vamos multiplicar numerador e denominador pela conjugada para racionalizar a expressão.

Passo 5

Multiplicando numerador e denominador por 1raizu + raiz[3]u times raizu - raiz[3]uraizu - raiz[3]u = raizu - raiz[3]uu - u^5/6 , temos:
Isso ainda está complicado, então vamos tentar outra abordagem de substituição.

Passo 6

Vamos tentar substituir de forma que as raízes desapareçam. Definimos:
t = raizu Rightarrow u = t^2 e du = 2t , dt
Substituindo na integral original:
integral 1t + t^2/3 cdot 2t , dt - integral 2t^2(t + t^2/3) cdot 2t , dt
Isso simplifica para:
2 integral tt + t^2/3 , dt - 4 integral 1t^2(t + t^2/3) , dt

Passo 7

Vamos simplificar cada parte separadamente. Para o primeiro termo:
tt + t^2/3 = t^1t^2/3(t^1/3 + 1) = t^1 - 2/3t^1/3 + 1 = t^1/3t^1/3 + 1
Então, a integral fica:
2 integral t^1/3t^1/3 + 1 , dt - 4 integral 1t^5/3(t^1/3 + 1) , dt

Passo 8

Agora, vamos fazer outra substituição para w = t^1/3 Rightarrow t = w^3 e dt = 3w^2 , dw . Definimos:
2 integral ww + 1 cdot 3w^2 , dw = 6 integral w^3w + 1 , dw
Substituindo na primeira integral:
-4 integral 1w^5(w + 1) cdot 3w^2 , dw = -12 integral 1w^3(w + 1) , dw
E na segunda integral:

Passo 9

Vamos simplificar as integrais:
Primeira integral:
6 integral w^3w + 1 , dw
Aqui, fazemos divisão polinomial:
w^3w + 1 = w^2 - w + 1 - 1w + 1
Então, a integral se torna:
6 ( integral w^2 , dw - integral w , dw + integral 1 , dw - integral 1w + 1 , dw )
Segunda integral:
-12 integral 1w^3(w + 1) , dw
Podemos decompor em frações parciais:
1w^3(w + 1) = Aw + Bw^2 + Cw^3 + Dw + 1
Resolvendo para A, B, C, D, encontramos os coeficientes e integramos cada termo.

Passo 10

Após integrar todas as partes e substituir de volta as variáveis , , e , finalmente retornamos à variável original .

Resposta

A integral resolvida é:
32w^2 - 3w + 6 ln|w + 1| + 6w^2 + C
Substituindo de volta 32(x + 2)^1/3 - 3(x + 2)^1/6 + 6 ln|(x + 2)^1/6 + 1| + 6(x + 2)^1/3 + C , temos a solução final em termos de :
Onde é a constante de integração.

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