Use coordenadas esféricas para calcular
, onde
é a esfera de raio 3 centrada na origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde
é uma esfera de raio 3 centrada na origem. Vamos usar coordenadas esféricas para isso. Basicamente, vamos precisar lembrar como as coordenadas esféricas funcionam e a fórmula para o elemento de volume nessa coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é representado por três valores:
(a distância do ponto até a origem),
(o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e
(o ângulo desde o eixo z). A fórmula para o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Como estamos integrando sobre uma esfera de raio 3, os limites das integrais serão:
-
varia de 0 a 3 -
varia de 0 a (de cima para baixo da esfera) -
varia de 0 a (em torno do círculo completo)
Passo 4
Agora, configuramos a integral tripla com esses limites e a expressão para
:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Passo 7
Integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, a integral está:
Passo 9
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
Multiplicando tudo, temos:
Portanto,
.