Use coordenadas esféricas para calcular integral triplaB 1 d V, onde B é a esfera de raio 3 centrada na origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaB 1 , dV, onde B é uma esfera de raio 3 centrada na origem. Vamos usar coordenadas esféricas para isso. Basicamente, vamos precisar lembrar como as coordenadas esféricas funcionam e a fórmula para o elemento de volume nessa coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é representado por três valores: rho (a distância do ponto até a origem), theta (o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e phi (o ângulo desde o eixo z). A fórmula para o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 3

Como estamos integrando sobre uma esfera de raio 3, os limites das integrais serão:
  • rho varia de 0 a 3
  • phi varia de 0 a pi (de cima para baixo da esfera)
  • theta varia de 0 a 2pi (em torno do círculo completo)

Passo 4

Agora, configuramos a integral tripla com esses limites e a expressão para dV:
integral triplaB 1 , dV = integral0^2pi integral0^pi integral0^3 rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a rho:
integral0^3 rho^2 , drho = [ rho^33 ]0^3 = 273 - 0 = 9

Passo 6

Agora, a integral fica:
9 integral0^2pi integral0^pi sinphi , dphi , dtheta

Passo 7

Integramos em relação a phi:
integral0^pi sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi = -(-1) - (-1) = 2

Passo 8

Agora, a integral está:
9 times 2 integral0^2pi dtheta = 18 integral0^2pi dtheta

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Resposta

Multiplicando tudo, temos:
18 times 2pi = 36pi
Portanto, integral triplaB 1 , dV = 36pi.

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