Resolva as integrais usando métodos adequados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui estamos lidando com integrais que envolvem potências da função tangente. Para resolver, vamos usar substituição e algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é
, o que significa que
.
Passo 3
Substituindo
e
na integral original, temos:
Passo 4
Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 5
Começamos integrando
. Sabemos que
, e podemos usar a identidade
. Então:
Passo 6
Agora, vamos distribuir:
Sabemos que
.
Passo 7
Para a primeira integral, fazemos uma substituição adicional. Seja
, então
. Assim:
Passo 8
Juntando as partes, temos:
Passo 9
Agora, vamos integrar
. Podemos escrever
como
e novamente usar a identidade
:
Passo 10
Expandindo:
Sabemos que:
A integral
pode ser resolvida usando uma identidade ou integração por partes, resultando:
Passo 11
Substituindo de volta:
Passo 12
Agora, juntando as duas integrais que tínhamos separado:
Passo 13
Finalmente, substituímos
de volta:
Simplificando:
Resposta
A integral é igual a: