Resolva as integrais usando métodos adequados: integral[tan ^3(x3)+tan ^4(x3)] d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com integrais que envolvem potências da função tangente. Para resolver, vamos usar substituição e algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja . Então, a derivada de em relação a é , o que significa que .

Passo 3

Substituindo integral[tan^3(u) + tan^4(u)] cdot 3, du = 3integral[tan^3(u) + tan^4(u)] du e na integral original, temos:

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
3( integral tan^3(u), du + integral tan^4(u), du )

Passo 5

Começamos integrando integral tan^3(u), du = integral tan(u) ( sec^2(u) - 1 ) du . Sabemos que , e podemos usar a identidade . Então:

Passo 6

Agora, vamos distribuir:
integral tan(u) sec^2(u), du - integral tan(u), du
Sabemos que .

Passo 7

Para a primeira integral, fazemos uma substituição adicional. Seja integral tan(u) sec^2(u), du = integral w, dw = w^22 + C = tan^2(u)2 + C , então . Assim:

Passo 8

Juntando as partes, temos:
integral tan^3(u), du = tan^2(u)2 - ln|cos(u)| + C

Passo 9

Agora, vamos integrar integral tan^4(u), du = integral ( sec^2(u) - 1 )^2 du . Podemos escrever como e novamente usar a identidade :

Passo 10

Expandindo:
integral ( sec^4(u) - 2sec^2(u) + 1 ) du = integral sec^4(u), du - 2integral sec^2(u), du + integral 1, du
Sabemos que:
  • integral sec^4(u), du = tan(u) + tan^3(u)3 + C
A integral pode ser resolvida usando uma identidade ou integração por partes, resultando:

Passo 11

Substituindo de volta:
integral tan^4(u), du = ( tan(u) + tan^3(u)3 ) - 2tan(u) + u + C = -tan(u) + tan^3(u)3 + u + C

Passo 12

Agora, juntando as duas integrais que tínhamos separado:
3( tan^2(u)2 - ln|cos(u)| - tan(u) + tan^3(u)3 + u ) + C

Passo 13

Finalmente, substituímos 32tan^2( x3 ) - 3ln| cos( x3 ) | - 3tan( x3 ) + tan^3( x3 ) + 3 cdot x3 + C de volta:
32tan^2( x3 ) - 3ln| cos( x3 ) | - 3tan( x3 ) + tan^3( x3 ) + x + C
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:
32tan^2( x3 ) - 3ln| cos( x3 ) | - 3tan( x3 ) + tan^3( x3 ) + x + C

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