Resolva as integrais usando métodos adequados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com integrais que envolvem potências da função tangente. Para resolver, vamos usar substituição e algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja . Então, a derivada de em relação a é , o que significa que .

Passo 3

Substituindo e na integral original, temos:

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:

Passo 5

Começamos integrando . Sabemos que , e podemos usar a identidade . Então:

Passo 6

Agora, vamos distribuir:
Sabemos que .

Passo 7

Para a primeira integral, fazemos uma substituição adicional. Seja , então . Assim:

Passo 8

Juntando as partes, temos:

Passo 9

Agora, vamos integrar . Podemos escrever como e novamente usar a identidade :

Passo 10

Expandindo:
Sabemos que:
A integral pode ser resolvida usando uma identidade ou integração por partes, resultando:

Passo 11

Substituindo de volta:

Passo 12

Agora, juntando as duas integrais que tínhamos separado:

Passo 13

Finalmente, substituímos de volta:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Relacione a coluna 1 com a coluna 2 (resultados dos limites da coluna 1) Justifique cada limites.
Coluna I
Coluna II
:—: :—:
-1
0
1
Resolva as integrais usando métodos adequados:
Calcule os seguintes limites:
Determine a derivada de cada uma das funções dadas abaixo: