Resolva as integrais usando métodos adequados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração que nos ajudarão a simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando a identidade trigonométrica . Assim, temos:

Passo 3

Sabemos que . Vamos usar essa identidade para expressar de uma forma que facilite a integração:

Passo 4

Expandindo a expressão , temos:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
  1. Para , usamos a identidade :
Multiplicando por 2:
  1. Para , usamos novamente a identidade :
Então,
Esse processo cria uma integral que dependemos resolver novamente, o que nos leva a usar métodos de integração mais avançados ou simplificações adicionais. Contudo, para simplificar, podemos reconhecer que a integral original pode ser resolvida mais diretamente usando uma substituição adequada.

Passo 6

Uma abordagem mais simples é usar a identidade:
Então, a integral fica:
Sabemos que:
E para , usamos a substituição , então :

Resposta

Juntando tudo, a integral é:

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Determine a função derivada (considere a e b constantes) das seguintes funções:
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