Resolva as integrais usando métodos adequados: integral d xsin ^4(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração que nos ajudarão a simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função 1sin^4(x) = csc^4(x) usando a identidade trigonométrica . Assim, temos:

Passo 3

Sabemos que csc^4(x) = (csc^2(x))^2 = (1 + cot^2(x))^2 . Vamos usar essa identidade para expressar de uma forma que facilite a integração:

Passo 4

Expandindo a expressão 1 + 2cot^2(x) + cot^4(x) , temos:
integral csc^4(x) , dx = integral (1 + 2cot^2(x) + cot^4(x)) dx
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
  1. integral cot^2(x) , dx = integral (csc^2(x) - 1) , dx = -cot(x) - x + C
  2. Para 2integral cot^2(x) , dx = -2cot(x) - 2x + C , usamos a identidade cot^4(x) = (cot^2(x))^2 = (csc^2(x) - 1)^2 = csc^4(x) - 2csc^2(x) + 1 :
integral cot^4(x) , dx = integral csc^4(x) , dx - 2integral csc^2(x) , dx + integral 1 , dx
Multiplicando por 2:
  1. Para , usamos novamente a identidade :
Então,
Esse processo cria uma integral que dependemos resolver novamente, o que nos leva a usar métodos de integração mais avançados ou simplificações adicionais. Contudo, para simplificar, podemos reconhecer que a integral original pode ser resolvida mais diretamente usando uma substituição adequada.

Passo 6

Uma abordagem mais simples é usar a identidade:
csc^4(x) = csc^2(x) cdot csc^2(x) = csc^2(x) (1 + cot^2(x))
Então, a integral fica:
integral csc^4(x) , dx = integral csc^2(x) , dx + integral csc^2(x) cot^2(x) , dx
Sabemos que:
integral csc^2(x) , dx = -cot(x) + C
E para integral csc^2(x) cot^2(x) , dx = -integral u^2 , du = -u^33 + C = -cot^3(x)3 + C , usamos a substituição , então :

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
integral dxsin^4(x) = -cot(x) - cot^3(x)3 + C

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