Resolva as integrais usando métodos adequados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral:
Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com uma integral que envolve funções logarítmicas e uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição adequada e simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição que torne a expressão mais fácil de trabalhar. Observamos que temos na integral, então uma boa ideia é definir uma nova variável para substituir .
Vamos deixar:
Agora, precisamos encontrar em termos de :
Mas sabemos que , então substituindo:

Passo 3

Vamos agora substituir e na integral original:
Simplificamos os termos que se cancelam.

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral:
Para facilitar, vamos completar o quadrado no denominador. Primeiro, reescrevemos a expressão dentro da raiz:
Vamos completar o quadrado para a expressão :
Então,

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
Vamos fazer uma nova substituição para simplificar ainda mais. Deixe:
Então,
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
Fazendo a substituição:
Substituindo na integral:
Segunda integral:
Essa é uma integral padrão que resulta em uma função arco seno:

Passo 7

Voltando às substituições anteriores, lembramos que:
Então,
E,

Passo 8

Juntando tudo, a solução da integral é:

Resposta

A solução da integral é:
Onde é a constante de integração.

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