Resolva as integrais usando métodos adequados: integral ln (x) d xx raiz1-ln (x)-ln ^2(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral:
integral ln(x) , dxx raiz1 - ln(x) - ln^2(x)
Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com uma integral que envolve funções logarítmicas e uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição adequada e simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição que torne a expressão mais fácil de trabalhar. Observamos que temos ln(x) na integral, então uma boa ideia é definir uma nova variável para substituir ln(x).
Vamos deixar:
t = ln(x)
Agora, precisamos encontrar dt em termos de dx:
dt = 1x dx Rightarrow dx = x , dt
Mas sabemos que x = e^t, então substituindo:
dx = e^t , dt

Passo 3

Vamos agora substituir t = ln(x) e dx = e^t , dt na integral original:
integral ln(x) , dxx raiz1 - ln(x) - ln^2(x) = integral t cdot e^t , dte^t raiz1 - t - t^2 = integral traiz1 - t - t^2 , dt
Simplificamos os termos e^t que se cancelam.

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral:
integral traiz1 - t - t^2 , dt
Para facilitar, vamos completar o quadrado no denominador. Primeiro, reescrevemos a expressão dentro da raiz:
1 - t - t^2 = -t^2 - t + 1
Vamos completar o quadrado para a expressão -t^2 - t:
-t^2 - t = -(t^2 + t) = -(t^2 + t + 14 - 14) = -((t + 12)^2 - 14)
Então,
1 - t - t^2 = -(t + 12)^2 + 54

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral traiz-(t + 12)^2 + 54 , dt
Vamos fazer uma nova substituição para simplificar ainda mais. Deixe:
u = t + 12
Então,
du = dt e t = u - 12
Substituindo na integral:
integral u - 12raiz-u^2 + 54 , du = integral uraiz54 - u^2 , du - 12 integral 1raiz54 - u^2 , du

Passo 6

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
integral uraiz54 - u^2 , du
Fazendo a substituição:
v = 54 - u^2 Rightarrow dv = -2u , du Rightarrow -12 dv = u , du
Substituindo na integral:
-12 integral 1raizv , dv = -12 cdot 2 raizv + C = -raizv + C = -raiz54 - u^2 + C
Segunda integral:
-12 integral 1raiz54 - u^2 , du
Essa é uma integral padrão que resulta em uma função arco seno:
-12 cdot arcsin(uraiz54) + C = -12 arcsin(2uraiz5) + C

Passo 7

Voltando às substituições anteriores, lembramos que:
u = t + 12 e t = ln(x)
Então,
raiz54 - u^2 = raiz54 - (t + 12)^2 = raiz1 - t - t^2
E,
arcsin(2uraiz5) = arcsin(2(t + 12)raiz5) = arcsin(2ln(x) + 1raiz5)

Passo 8

Juntando tudo, a solução da integral é:
-raiz1 - ln(x) - ln^2(x) - 12 arcsin(2ln(x) + 1raiz5) + C

Resposta

A solução da integral é:
-raiz1 - ln(x) - ln^2(x) - 12 arcsin(2ln(x) + 1raiz5) + C
Onde C é a constante de integração.

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