Resolva as integrais usando métodos adequados:
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma integral para resolver:
Vamos usar o conteúdo de integrais que envolve substituição para facilitar a resolução. Precisamos encontrar uma maneira de simplificar a expressão dentro da raiz e da fração para que possamos integrar de forma mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz e na fração. Observe que
pode ser escrito como
. Vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais simples.
Vamos chamar:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isso significa que:
Passo 4
Vamos substituir
por
na nossa integral original:
Passo 5
Agora, para simplificar ainda mais, vamos fazer outra substituição. Vamos chamar:
Então, vamos derivar
em relação a
:
Passo 6
Substituindo
e
na integral, temos:
Mas sabemos que
, então podemos resolver a integral diretamente ou considerar outra substituição. Para simplificar, vamos voltar à integral original após a primeira substituição e resolver de outra maneira.
Passo 7
Voltando à integral:
Podemos reescrever
como
e então usar uma substituição trigonométrica. Vamos usar:
Então,
E substituindo na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 8
Substituindo de volta na integral:
Isso simplifica para:
Passo 9
Sabemos que:
Então, a integral fica:
Passo 10
Agora, precisamos voltar às variáveis originais. Lembrando que:
E,
Passo 11
Substituindo de volta, temos:
E lembrando que
, a solução final é:
Resposta
A integral resolvida é:
Onde
é a constante de integração.
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Determine a derivada
de cada uma das funções dadas abaixo:
a)
a)