Resolva as integrais usando métodos adequados: integral raiz16-exp (2 x) d xexp (x)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma integral para resolver:
integral raiz16 - e^2xe^x , dx
Vamos usar o conteúdo de integrais que envolve substituição para facilitar a resolução. Precisamos encontrar uma maneira de simplificar a expressão dentro da raiz e da fração para que possamos integrar de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz e na fração. Observe que u = e^x pode ser escrito como . Vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais simples.
Vamos chamar:

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = e^x Rightarrow du = e^x , dx em relação a dx = due^x = duu para encontrar :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir integral raiz16 - u^2u cdot duu = integral raiz16 - u^2u^2 , du por na nossa integral original:

Passo 5

Agora, para simplificar ainda mais, vamos fazer outra substituição. Vamos chamar:
v = 16 - u^2
Então, vamos derivar dvdu = -2u Rightarrow dv = -2u , du Rightarrow du = -dv2u em relação a :

Passo 6

Substituindo integral raizvu^2 cdot (-dv2u) = -12 integral raizvu^3 , dv e na integral, temos:
Mas sabemos que , então podemos resolver a integral diretamente ou considerar outra substituição. Para simplificar, vamos voltar à integral original após a primeira substituição e resolver de outra maneira.

Passo 7

Voltando à integral:
integral raiz16 - u^2u^2 , du
Podemos reescrever u = 4 sin theta como du = 4 cos theta , dtheta e então usar uma substituição trigonométrica. Vamos usar:
integral raiz16 - 16 sin^2 theta16 sin^2 theta cdot 4 cos theta , dtheta
Então,
raiz16(1 - sin^2 theta) = raiz16 cos^2 theta = 4 cos theta
E substituindo na integral:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 8

Substituindo de volta na integral:
integral 4 cos theta16 sin^2 theta cdot 4 cos theta , dtheta = integral 16 cos^2 theta16 sin^2 theta , dtheta = integral cos^2 thetasin^2 theta , dtheta
Isso simplifica para:
integral cot^2 theta , dtheta

Passo 9

Sabemos que:
cot^2 theta = csc^2 theta - 1
Então, a integral fica:
integral (csc^2 theta - 1) , dtheta = -cot theta - theta + C

Passo 10

Agora, precisamos voltar às variáveis originais. Lembrando que:
u = 4 sin theta Rightarrow theta = arcsin(u4)
E,
cot theta = cos thetasin theta = raiz1 - sin^2 thetasin theta = raiz16 - u^2u

Passo 11

Substituindo de volta, temos:
-raiz16 - u^2u - arcsin(u4) + C
E lembrando que -raiz16 - e^2xe^x - arcsin(e^x4) + C , a solução final é:

Resposta

A integral resolvida é:
-raiz16 - e^2xe^x - arcsin(e^x4) + C
Onde é a constante de integração.

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