Resolva as integrais usando métodos adequados:

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma integral para resolver:
Vamos usar o conteúdo de integrais que envolve substituição para facilitar a resolução. Precisamos encontrar uma maneira de simplificar a expressão dentro da raiz e da fração para que possamos integrar de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz e na fração. Observe que pode ser escrito como . Vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais simples.
Vamos chamar:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir por na nossa integral original:

Passo 5

Agora, para simplificar ainda mais, vamos fazer outra substituição. Vamos chamar:
Então, vamos derivar em relação a :

Passo 6

Substituindo e na integral, temos:
Mas sabemos que , então podemos resolver a integral diretamente ou considerar outra substituição. Para simplificar, vamos voltar à integral original após a primeira substituição e resolver de outra maneira.

Passo 7

Voltando à integral:
Podemos reescrever como e então usar uma substituição trigonométrica. Vamos usar:
Então,
E substituindo na integral:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 8

Substituindo de volta na integral:
Isso simplifica para:

Passo 9

Sabemos que:
Então, a integral fica:

Passo 10

Agora, precisamos voltar às variáveis originais. Lembrando que:
E,

Passo 11

Substituindo de volta, temos:
E lembrando que , a solução final é:

Resposta

A integral resolvida é:
Onde é a constante de integração.

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Determine a derivada de cada uma das funções dadas abaixo:
a)