Resolva as integrais usando substituição trigonométrica: integral (x+1) d x(x^2+9)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral faz parte do cálculo integral, onde usamos substituições especiais para facilitar a resolução de integrais complicadas. Vamos precisar aplicar trigonometria para simplificar o denominador e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar o denominador . Vamos deixar . Isso porque . Assim, o denominador fica mais simples.

Passo 3

Com dx = 3 sec^2 theta , dtheta , calculamos integral (3 tan theta + 1) cdot 3 sec^2 theta , dtheta(9 sec^2 theta)^2 = integral (3 tan theta + 1) cdot 3 sec^2 theta81 sec^4 theta , dtheta . Derivando ambos os lados em relação a :
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Simplificando a expressão:
integral (3 tan theta + 1) cdot 3 sec^2 theta81 sec^4 theta , dtheta = integral (3 tan theta + 1) cdot 381 sec^2 theta , dtheta = integral 3 tan theta + 127 sec^2 theta , dtheta
Lembre-se que .

Passo 5

Agora, podemos reescrever a integral:
integral 3 tan theta + 127 (1 + tan^2 theta) , dtheta = 127 integral 3 tan theta + 11 + tan^2 theta , dtheta
Vamos separar a fração:
3 tan theta + 11 + tan^2 theta = 3 cdot tan theta1 + tan^2 theta + 11 + tan^2 theta

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
127 (3 integral tan theta1 + tan^2 theta , dtheta + integral 11 + tan^2 theta , dtheta )
Sabemos que e .

Passo 7

Integrando os termos:
3 integral tan theta1 + tan^2 theta , dtheta = 32 ln |1 + tan^2 theta| + C
integral 11 + tan^2 theta , dtheta = arctan (tan theta) + C = theta + C
Então, a integral fica:
127 ( 32 ln |1 + tan^2 theta| + theta ) + C

Passo 8

Agora, substituímos de volta em termos de . Lembrando que , então e .
Além disso, .

Passo 9

Substituindo de volta:
127 ( 32 ln (x^2 + 99) + arctan (x3) ) + C
Simplificando:
118 ln (x^2 + 9) + 127 arctan (x3) + C

Resposta

A integral 118 ln (x^2 + 9) + 127 arctan (x3) + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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