Resolva as integrais usando a substituição de variável: integral sin (2 x) d xraiz1+sin ^2(x)

Passo 1

Vamos resolver a integral integral sin (2 x) , dxraiz1+sin^2(x). Esse exercício pertence ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente utilizando a técnica de substituição de variável. Para resolver, vamos precisar escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando o denominador raiz1+sin^2(x), uma boa escolha é definir:
u = 1 + sin^2(x)
Essa substituição vai ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
du = ddx(1 + sin^2(x)) , dx = 2sin(x)cos(x) , dx = sin(2x) , dx
Perceba que sin(2x) apareceu na expressão, que é exatamente o numerador da nossa integral.

Passo 4

Com isso, podemos reescrever a integral em termos de u e du:
integral sin(2x) , dxraiz1+sin^2(x) = integral duraizu
Isso simplifica bastante a integral, deixando-a mais fácil de resolver.

Passo 5

A integral integral duraizu é uma integral básica que conhecemos. Ela pode ser resolvida da seguinte forma:
integral u^-1/2 , du = 2raizu + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u de volta para a variável original x:
2raiz1 + sin^2(x) + C

Resposta

2raiz1 + sin^2(x) + C

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