Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
  1. integral 2^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 2^5 x , dx usando o método de substituição de variáveis. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, onde aprendemos a encontrar antiderivadas de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer a substituição certa para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da função que pode ser substituída para facilitar a integração. Observamos que a função exponencial 2^5x pode ser escrita em termos de exponenciais naturais, já que 2^5x = e^5x ln 2.

Passo 3

Então, reescrevemos a integral usando a propriedade das potências de e:
integral 2^5x , dx = integral e^5x ln 2 , dx

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = 5x ln 2. Assim, derivando u em relação a x, temos:
dudx = 5 ln 2 implies du = 5 ln 2 , dx implies dx = du5 ln 2

Passo 5

Substituímos u e dx na integral original:
integral e^u cdot du5 ln 2 = 15 ln 2 integral e^u , du

Passo 6

A integral de e^u em relação a u é simplesmente e^u. Então, temos:
15 ln 2 e^u + C

Passo 7

Agora, voltamos à variável original x substituindo u = 5x ln 2:
15 ln 2 e^5x ln 2 + C
E lembrando que e^5x ln 2 = 2^5x, então:

Resposta

A integral de 2^5x em relação a x é:
integral 2^5x , dx = 2^5x5 ln 2 + C

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