Resolva as integrais usando a substituição de variável: integral d x4-9 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com uma integral que envolve uma fração onde o denominador é uma diferença de quadrados. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição de variável, que nos ajuda a simplificar a integral para algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral para substituir por uma nova variável. Observando o denominador u = 3x , podemos notar que ele pode ser reescrito como . Isso sugere que podemos fazer a seguinte substituição:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 3 Rightarrow dx = du3 em relação a para substituir na integral:

Passo 4

Substituindo integral dx4 - 9x^2 = integral du34 - u^2 = 13 integral du4 - u^2 e na integral original, temos:

Passo 5

A integral integral dua^2 - u^2 = 12a ln|a + ua - u| + C é uma integral padrão que pode ser resolvida usando a fórmula para a integral de 13 integral du4 - u^2 = 13 cdot 12 cdot 2 ln|2 + u2 - u| + C = 112 ln|2 + u2 - u| + C , que é:
No nosso caso, , então . Aplicando a fórmula:

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original 112 ln|2 + 3x2 - 3x| + C substituindo :

Resposta

integral dx4 - 9x^2 = 112 ln|2 + 3x2 - 3x| + C

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