Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
9)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver a integral
usando o método de substituição de variáveis. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de integração. Vamos precisar escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. Observando o denominador
, uma boa escolha é deixar o que está dentro da raiz ser nossa nova variável. Então, vamos definir:
Isso nos ajudará a simplificar a integral.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial de
, ou seja,
. Derivando
em relação a
, temos:
Mas na nossa integral temos
, então vamos rearranjar para expressar
em termos de
:
Passo 4
Substituímos agora
e
na integral original:
Aqui, usamos a propriedade de que
, então
.
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Lembrando que
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, voltamos à variável original substituindo
:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
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