Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
9) integral x d xraiz2 x^2+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver a integral integral x , dxraiz2 x^2+3 usando o método de substituição de variáveis. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de integração. Vamos precisar escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. Observando o denominador raiz2x^2 + 3, uma boa escolha é deixar o que está dentro da raiz ser nossa nova variável. Então, vamos definir:
u = 2x^2 + 3
Isso nos ajudará a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de u, ou seja, du. Derivando u em relação a x, temos:
dudx = 4x Rightarrow du = 4x , dx
Mas na nossa integral temos x , dx, então vamos rearranjar para expressar x , dx em termos de du:
x , dx = du4

Passo 4

Substituímos agora u e x , dx na integral original:
integral x , dxraiz2x^2 + 3 = integral du4raizu = 14 integral u^-1/2 , du
Aqui, usamos a propriedade de que raizu = u^1/2, então 1/raizu = u^-1/2.

Passo 5

Agora, vamos integrar u^-1/2:
14 integral u^-1/2 , du = 14 cdot ( u^1/21/2 ) + C = 14 cdot 2 raizu + C = 12 raizu + C
Lembrando que C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original substituindo u = 2x^2 + 3:
12 raizu + C = 12 raiz2x^2 + 3 + C

Resposta

A integral integral x , dxraiz2 x^2+3 é igual a 12 raiz2x^2 + 3 + C, onde C é a constante de integração.

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