Resolva as integrais utilizando o método da integração por partes:
integral 3 x cdot sec ^2(2 x) d x Resp: 3 x tan (2 x)2+ln |cos (2 x)|+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . O conteúdo que vamos usar aqui é o método da integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar identificar quais partes da nossa integral vão ser e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u = 3x e dv = sec^2(2x) , dx e . A regra geral é escolher como a parte que fica mais simples quando derivada. Aqui, vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx(3x) , dx = 3 , dx e v = integral sec^2(2x) , dx . Para isso, derivamos v = 12 tan(2x) e integramos :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral 3x cdot sec^2(2x) , dx = 3x cdot 12 tan(2x) - integral 12 tan(2x) cdot 3 , dx
Simplificando:
= 3x2 tan(2x) - 32 integral tan(2x) , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral tan(2x) , dx = -12 ln|cos(2x)| . Lembrando que 3x2 tan(2x) - 32 (-12 ln|cos(2x)|) = 3x2 tan(2x) + 34 ln|cos(2x)| , temos:
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 6

Finalmente, juntamos tudo e adicionamos a constante de integração 3x2 tan(2x) + 34 ln|cos(2x)| + C :
3x tan(2x)2 + ln|cos(2x)| + C
Podemos simplificar a fração para combinar os termos logarítmicos:

Resposta

3x tan(2x)2 + ln |cos(2x)| + C

Exercícios relacionados