Resolva as integrais utilizando o método da integração por partes:
integral(5 x^2-2) ln x d x Resp: 5 x^3 ln x3-2 x ln x+5 x^39+2 x+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral u , dv = u cdot v - integral v , du usando o método da integração por partes. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de duas funções. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula de integração por partes:

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes u = ln x e dv = (5x^2 - 2) dx e na nossa integral. Geralmente, escolhemos para ser a função que fica mais simples quando derivada. Aqui, podemos escolher:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = 1x dx e v = integral (5x^2 - 2) dx = 5x^33 - 2x .
Derivando :
Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral(5 x^2-2) ln x , dx = ln x (5x^33 - 2x) - integral (5x^33 - 2x) cdot 1x dx

Passo 5

Simplificando a integral restante:
integral (5x^33 - 2x) cdot 1x dx = integral (5x^23 - 2) dx
Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 5x^23 dx = 53 cdot x^33 = 5x^39
integral -2 , dx = -2x

Passo 6

Juntando tudo, temos:
integral(5 x^2-2) ln x , dx = ln x (5x^33 - 2x) - (5x^39 - 2x) + C
Simplificando os termos:
= 5x^3 ln x3 - 2x ln x - 5x^39 + 2x + C

Resposta

5 x^3 ln x3 - 2x ln x + 5 x^39 + 2x + C

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