Resolva as integrais utilizando o método da integração por partes:
integral sen(3 x-2) 12 x d x Resp: -4 x cos (3 x-2)+43 sen(3 x-2)+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da integração por partes. Esse método é ótimo quando temos um produto de duas funções, e a gente precisa dividir a integral em partes que a gente consegue integrar mais facilmente. Para isso, vamos precisar escolher uma parte da integral para derivar e outra para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que vamos usar na integração por partes. A fórmula básica é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher u = 12x e dv = sin(3x - 2) , dx . Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica quando derivada e como a parte que é fácil de integrar.
Vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx(12x) , dx = 12 , dx e v = integral sin(3x - 2) , dx .
Derivando integral sin(ax + b) , dx = -1a cos(ax + b) + C :
v = -13 cos(3x - 2)
Integrando :
Para integrar , usamos uma substituição simples. Sabemos que:
Aplicando isso:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral 12x cdot sin(3x - 2) , dx = 12x cdot (-13 cos(3x - 2)) - integral (-13 cos(3x - 2)) cdot 12 , dx
Simplificando:
= -4x cos(3x - 2) + 4 integral cos(3x - 2) , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral que ficou:
integral cos(3x - 2) , dx
Usando a mesma técnica de substituição:
integral cos(ax + b) , dx = 1a sin(ax + b) + C
Aplicando isso:
integral cos(3x - 2) , dx = 13 sin(3x - 2)
Multiplicando pelo 4 que estava na frente:
4 cdot 13 sin(3x - 2) = 43 sin(3x - 2)

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:
integral 12x cdot sin(3x - 2) , dx = -4x cos(3x - 2) + 43 sin(3x - 2) + C

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