Resolva as integrais utilizando o método da integração por partes:
integral x, cos 2 x d x Resp:: x sen(2 x)2+cos (2 x)4+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que a gente tem aqui é uma integral do tipo integral x cos(2x) , dx. O conteúdo envolve o método de integração por partes, que é uma técnica útil para integrar produtos de funções. Para resolver isso, vamos precisar identificar quais partes da expressão vamos diferenciar e integrar conforme a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, a gente precisa escolher o que será u e o que será dv na nossa integral.

Passo 3

Vamos escolher:
  • u = x (porque sua derivada é mais simples)
  • dv = cos(2x) , dx
Agora, vamos calcular du e v:
  • du = dx
  • Para encontrar v, integramos dv:
    v = integral cos(2x) , dx = sin(2x)2

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x cos(2x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot sin(2x)2 - integral sin(2x)2 cdot dx

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
= x sin(2x)2 - 12 integral sin(2x) , dx
Agora, vamos resolver a integral restante:
integral sin(2x) , dx = -cos(2x)2

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
= x sin(2x)2 - 12 ( -cos(2x)2 )
Simplificando:
= x sin(2x)2 + cos(2x)4 + C

Resposta

integral x cos(2x) , dx = x sin(2x)2 + cos(2x)4 + C

Exercícios relacionados