Resolva as integrais utilizando o método da integração por substituição:
integral 5 sen xcos ^4 x d x Resp.: 53 cos ^3 x+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição. Esse método é super útil quando a integral tem uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Vamos precisar entender um pouquinho de derivadas e como escolher a melhor substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável, geralmente chamada de . Olhando para , percebemos que o denominador junto com o numerador sugere que podemos escolher .

Passo 3

Com du = -sen x , dx , precisamos encontrar . Derivando em relação a , temos:
Isso significa que . Esse passo é importante porque vamos substituir na integral original.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integral 5 sen xcos^4 x , dx = integral 5u^4 cdot (-du) :
A gente trocou por e por .

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
integral 5u^4 cdot (-du) = -5 integral u^-4 , du
Aqui, usamos a propriedade de potências para reescrever como .

Passo 6

Agora, integramos -5 integral u^-4 , du = -5 cdot ( u^-3-3 ) + C = 53 u^-3 + C :
Integrar resulta em . Multiplicamos isso por e simplificamos.

Passo 7

Finalmente, substituímos 53 u^-3 + C = 53 cos^3 x + C de volta na expressão:
E aí está a solução final da integral.

Resposta

53 cos^3 x + C

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