Resolva as integrais utilizando o método da integração por partes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da integração por partes. Esse método é super útil quando a integral é o produto de duas funções, como aqui, onde temos e (já que é como multiplicar por 1). Para aplicar a integração por partes, precisamos identificar duas partes na nossa integral: e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que será e o que será . A regra mnemonica “LIATE” pode ajudar aqui, onde preferimos escolher como a função que cresce mais lentamente. Nesse caso:
  • Escolhemos porque funções logarítmicas são boas candidatas para .
  • Então, , que é simples de integrar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e :
  • Para encontrar , derivamos :
  • Para encontrar , integramos :

Passo 4

Agora que temos , , e , aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores:

Passo 5

Simplificando a integral restante:
Então, nossa expressão fica:

Resposta

A integral de em relação a é:

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Resolva as integrais utilizando o método da integração por substituição:
Resp.:
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