Resolva as integrais utilizando o método da integração por partes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método da integração por partes. Esse método é super útil quando a integral é o produto de duas funções, como aqui, onde temos
e
(já que
é como multiplicar por 1). Para aplicar a integração por partes, precisamos identificar duas partes na nossa integral:
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher o que será
e o que será
. A regra mnemonica “LIATE” pode ajudar aqui, onde preferimos escolher
como a função que cresce mais lentamente. Nesse caso:
- Escolhemos
porque funções logarítmicas são boas candidatas para . - Então,
, que é simples de integrar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
:
-
Para encontrar
, derivamos : -
Para encontrar
, integramos :
Passo 4
Agora que temos
,
,
e
, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores:
Passo 5
Simplificando a integral restante:
Então, nossa expressão fica:
Resposta
A integral de
em relação a
é:
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Resp.:
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