Resolva as integrais utilizando o método da integração por partes:
integral ln (2 x) d x Resp; x ln (2 x)-x+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da integração por partes. Esse método é super útil quando a integral é o produto de duas funções, como aqui, onde temos e (já que é como multiplicar por 1). Para aplicar a integração por partes, precisamos identificar duas partes na nossa integral: e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que será e o que será . A regra mnemonica “LIATE” pode ajudar aqui, onde preferimos escolher como a função que cresce mais lentamente. Nesse caso:
  • Escolhemos porque funções logarítmicas são boas candidatas para .
  • Então, , que é simples de integrar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx ln(2x) , dx = 12x cdot 2 , dx = 1x , dx e v = integral dx = x :
  • Para encontrar , derivamos :
  • Para encontrar , integramos :

Passo 4

Agora que temos integral u , dv = u cdot v - integral v , du , integral ln(2x) , dx = ln(2x) cdot x - integral x cdot 1x , dx , e , aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores:

Passo 5

Simplificando a integral restante:
integral x cdot 1x , dx = integral 1 , dx = x
Então, nossa expressão fica:
integral ln(2x) , dx = x ln(2x) - x + C

Resposta

A integral de integral ln(2x) , dx = x ln(2x) - x + C em relação a é:

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