Resolva as integrais utilizando o método da integração por partes:
integral ln 5 x d x Resp: x ln (5 x)-x+c

Passo 1

Vamos resolver a integral integral ln(5x) , dx usando o método de integração por partes. Esse método é ótimo quando temos o produto de duas funções e queremos integrá-las. Para isso, precisamos identificar quais partes da expressão serão atribuídas a u e dv.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u e dv. Aqui, vamos deixar:
  • u = ln(5x)
  • dv = dx
Escolhemos u como a função logarítmica porque sua derivada ficará mais simples, e dv como dx porque é fácil de integrar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar du e v:
  • Derivando u: du = ddx ln(5x) , dx = 15x cdot 5 , dx = 1x , dx
  • Integrando dv: v = integral dv = integral dx = x

Passo 4

Aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral ln(5x) , dx = x ln(5x) - integral x cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
integral ln(5x) , dx = x ln(5x) - integral 1 , dx

Passo 5

Agora, integramos integral 1 , dx:
integral 1 , dx = x
Então, substituindo de volta:
integral ln(5x) , dx = x ln(5x) - x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

boxedx ln(5x) - x + C

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